円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = \frac{5}{3}$ の2つの共有点 A, B と点 C $(0, \frac{\sqrt{6}+3}{3})$ を通る円の方程式を求める問題です。求める円の方程式は $x^2 + (y - a)^2 = b$ の形式で表されることを前提としています。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = \frac{5}{3}$ の2つの共有点 A, B と点 C $(0, \frac{\sqrt{6}+3}{3})$ を通る円の方程式を求める問題です。求める円の方程式は $x^2 + (y - a)^2 = b$ の形式で表されることを前提としています。

2. 解き方の手順

まず、円と直線の交点を求めます。円の方程式 $x^2 + y^2 = 3$ に $y = \frac{5}{3}$ を代入します。

$x^2 + (\frac{5}{3})^2 = 3$

$x^2 + \frac{25}{9} = 3$

$x^2 = 3 - \frac{25}{9} = \frac{27 - 25}{9} = \frac{2}{9}$

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{3}$

したがって、交点 A, B は $(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{5}{3})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{5}{3})$ です。

求める円の方程式を $x^2 + (y - a)^2 = r^2$ とします。

この円が点A$(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{5}{3})$と点C$(0, \frac{\sqrt{6}+3}{3})$を通るので、それぞれの座標を代入します。

$(\frac{\sqrt{2}}{3})^2 + (\frac{5}{3} - a)^2 = r^2$

$0^2 + (\frac{\sqrt{6}+3}{3} - a)^2 = r^2$

$\frac{2}{9} + (\frac{5}{3} - a)^2 = (\frac{\sqrt{6}+3}{3} - a)^2$

$\frac{2}{9} + \frac{25}{9} - \frac{10}{3}a + a^2 = \frac{6 + 6\sqrt{6} + 9}{9} - \frac{2\sqrt{6}+6}{3}a + a^2$

$\frac{27}{9} - \frac{10}{3}a = \frac{15 + 6\sqrt{6}}{9} - \frac{6 + 2\sqrt{6}}{3}a$

$3 - \frac{10}{3}a = \frac{5}{3} + \frac{2\sqrt{6}}{3} - 2a - \frac{2\sqrt{6}}{3}a$

$\frac{4}{3} = \frac{4}{3}a$

$a = 1$

円の方程式は $x^2 + (y - 1)^2 = r^2$ となります。

点C$(0, \frac{\sqrt{6}+3}{3})$を通ることから、

$0^2 + (\frac{\sqrt{6}+3}{3} - 1)^2 = r^2$

$r^2 = (\frac{\sqrt{6}}{3})^2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

したがって、求める円の方程式は $x^2 + (y - 1)^2 = \frac{2}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$x^2 + (y - 1)^2 = \frac{2}{3}$