$a$ は定数で、$a>1$ とする。直線 $l: x=a$ 上の点 $P(a, t)$ ($t$ は実数) を通り、円 $C: x^2 + y^2 = 1$ に接する2本の接線の接点をそれぞれ $A$, $B$ とするとき、直線 $AB$ は点 $P$ によらず、ある定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は定数で、$a>1$ とする。直線 $l: x=a$ 上の点 $P(a, t)$ ($t$ は実数) を通り、円 $C: x^2 + y^2 = 1$ に接する2本の接線の接点をそれぞれ $A$, $B$ とするとき、直線 $AB$ は点 $P$ によらず、ある定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

円 $C: x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1 x + y_1 y = 1$ で与えられる。

点 $P(a, t)$ を通る接線を考えるので、接点 $A$, $B$ の座標をそれぞれ $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ とすると、

$x_1 a + y_1 t = 1$

$x_2 a + y_2 t = 1$

となる。

この2式は、直線 $ax + ty = 1$ が2点 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ を通ることを示している。

したがって、直線 $AB$ の方程式は

$ax + ty = 1$

となる。

この式を $t$ について整理すると、

$ax - 1 + ty = 0$

となる。

この直線が $t$ によらずに定点を通るためには、

$ax - 1 = 0$ かつ $y = 0$

でなければならない。

$ax - 1 = 0$ より、 $x = \frac{1}{a}$

したがって、求める定点の座標は $(\frac{1}{a}, 0)$ である。

3. 最終的な答え

$(\frac{1}{a}, 0)$