$\theta$ は鋭角であり、$\tan \theta = \sqrt{2}$のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角であり、$\tan \theta = \sqrt{2}$のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sqrt{2}$ である。

$\sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ となる。

三角関数の相互関係より、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ である。

$\sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ を代入すると、$(\sqrt{2} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$ となる。

これを解くと、 $2\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$3\cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$。

$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$