与えられた2つの円、円1: $x^2 + y^2 = 1$ と円2: $(x-2)^2 + y^2 = 4$ について、以下の問題を解きます。 (1) 円1と円2に共通に接する接線の方程式を求めます。 (2) (1)で求めた接線と円1, 円2との接点をそれぞれA, B, C, Dとするとき、線分ABの長さを求めます。 (3) 円1とx軸の負の部分との交点をP, 円2とx軸の正の部分との交点をQとするとき、円弧APCと円弧BQDおよび線分ABと線分CDとで囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つの円、円1: $x^2 + y^2 = 1$ と円2: $(x-2)^2 + y^2 = 4$ について、以下の問題を解きます。

(1) 円1と円2に共通に接する接線の方程式を求めます。

(2) (1)で求めた接線と円1, 円2との接点をそれぞれA, B, C, Dとするとき、線分ABの長さを求めます。

(3) 円1とx軸の負の部分との交点をP, 円2とx軸の正の部分との交点をQとするとき、円弧APCと円弧BQDおよび線分ABと線分CDとで囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 共通接線の方程式を求める。

円1の中心(0,0), 半径1。円2の中心(2,0), 半径2。

共通接線の方程式を $y = kx + b$ とする。

円1の中心(0,0)から接線までの距離が1なので、

$\frac{|b|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$

$b^2 = k^2 + 1$ ...(3)

円2の中心(2,0)から接線までの距離が2なので、

$\frac{|2k + b|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2$

$(2k + b)^2 = 4(k^2 + 1)$

$4k^2 + 4kb + b^2 = 4k^2 + 4$

$4kb + b^2 = 4$ ...(4)

(4)に(3)を代入すると、

$4kb + k^2 + 1 = 4$

$4kb = 3 - k^2$

$b = \frac{3 - k^2}{4k}$

これを(3)に代入すると、

$(\frac{3 - k^2}{4k})^2 = k^2 + 1$

$(3 - k^2)^2 = 16k^2(k^2 + 1)$

$9 - 6k^2 + k^4 = 16k^4 + 16k^2$

$15k^4 + 22k^2 - 9 = 0$

$k^2 = \frac{-22 \pm \sqrt{22^2 - 4(15)(-9)}}{2(15)} = \frac{-22 \pm \sqrt{484 + 540}}{30} = \frac{-22 \pm \sqrt{1024}}{30} = \frac{-22 \pm 32}{30}$

$k^2 > 0$ より、 $k^2 = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$b = \frac{3 - \frac{1}{3}}{4(\frac{\sqrt{3}}{3})} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{4\sqrt{3}}{3}} = \frac{8}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき、$b = \frac{3 - \frac{1}{3}}{4(-\frac{\sqrt{3}}{3})} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{4\sqrt{3}}{3}} = \frac{8}{-4\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

よって、共通接線の方程式は $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{2\sqrt{3}}{3}$ と $y = -\frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

すなわち、$\sqrt{3}x - 3y + 2\sqrt{3} = 0$ と $\sqrt{3}x + 3y + 2\sqrt{3} = 0$

図から考えて、$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$ の接線の方程式を考える。

このとき、$k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ であり、$b = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ である。

(2) 線分ABの長さを求める。

円1の中心(0,0), 半径1。円2の中心(2,0), 半径2。

接線の傾き $k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$。

円1の中心から接点Aまでの距離は1。円2の中心から接点Bまでの距離は2。

円1の中心から円2の中心までの距離は2。

相似な三角形ができている。

AB = $\sqrt{(2-0)^2 - (2-1)^2}$ = $\sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$

(3) 面積を求める

円1: $x^2 + y^2 = 1$, P(-1, 0)

円2: $(x-2)^2 + y^2 = 4$, Q(4, 0)

円弧APCの面積は $\frac{1}{2} \pi (1^2) = \frac{\pi}{2}$

円弧BQDの面積は $\frac{1}{2} \pi (2^2) = 2\pi$

台形ABCDの面積は $\frac{1}{2}(1+2)(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

扇形の面積は $\frac{\pi}{3}$

したがって求める面積は　$\frac{3\sqrt{3}}{2} - (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}x + 3y + 2\sqrt{3} = 0$

(2) $\sqrt{3}$

(3) $\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{2}$