(1) 実数 $t$ が変化するとき、円 $(x+t)^2 + (y-2t)^2 = 4t^2$ が通過する領域を図示せよ。 (2) 点 $A(0, 1)$ を定め、点 $P$ は直線 $y = -1$ 上を動くとする。線分 $AP$ の垂直二等分線が通過する領域を図示せよ。

1. 問題の内容

(1) 実数 $t$ が変化するとき、円 $(x+t)^2 + (y-2t)^2 = 4t^2$ が通過する領域を図示せよ。

(2) 点 $A(0, 1)$ を定め、点 $P$ は直線 $y = -1$ 上を動くとする。線分 $AP$ の垂直二等分線が通過する領域を図示せよ。

2. 解き方の手順

(1)

円の方程式 $(x+t)^2 + (y-2t)^2 = 4t^2$ を展開して整理すると、

$x^2 + 2xt + t^2 + y^2 - 4yt + 4t^2 = 4t^2$

$t^2 + 2(x-2y)t + x^2 + y^2 = 0$

$t$ の2次方程式と見て、実数解を持つ条件を求める。

判別式を $D$ とすると、

$D/4 = (x-2y)^2 - (x^2 + y^2) \geq 0$

$x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 - y^2 \geq 0$

$3y^2 - 4xy \geq 0$

$y(3y - 4x) \geq 0$

したがって、$y \geq 0$ かつ $3y - 4x \geq 0$、または $y \leq 0$ かつ $3y - 4x \leq 0$。

これは、$y \geq 0$ かつ $y \geq \frac{4}{3}x$、または $y \leq 0$ かつ $y \leq \frac{4}{3}x$ を意味する。

したがって、領域は直線 $y = \frac{4}{3}x$ の上側と下側（直線を含む）。

(2)

点 $P$ の座標を $(s, -1)$ とする。$A(0, 1)$ と $P(s, -1)$ の中点は $(\frac{s}{2}, 0)$。

$AP$ の傾きは $\frac{-1-1}{s-0} = -\frac{2}{s}$。

$AP$ の垂直二等分線の傾きは $\frac{s}{2}$。

垂直二等分線の方程式は

$y - 0 = \frac{s}{2}(x - \frac{s}{2})$

$y = \frac{s}{2}x - \frac{s^2}{4}$

$s^2 - 2xs - 4y = 0$

$s$ の2次方程式と見て、実数解を持つ条件を求める。

判別式を $D$ とすると、

$D/4 = x^2 + 4y \geq 0$

$y \geq -\frac{x^2}{4}$

したがって、領域は放物線 $y = -\frac{x^2}{4}$ の上側（放物線を含む）。

3. 最終的な答え

(1) $y(3y - 4x) \geq 0$ で表される領域（直線 $y = \frac{4}{3}x$ の上側と下側を含む）。

(2) $y \geq -\frac{x^2}{4}$ で表される領域（放物線 $y = -\frac{x^2}{4}$ の上側を含む）。