(1)次の三角形の面積を求めなさい。 ①: 一辺の長さが6cm、挟む角が60°の三角形の面積を求めます。 ②: 一辺の長さが4cm, 6cm, 挟む角が45°の三角形の面積を求めます。 (2)次の四角形ABCDの面積を求めなさい。ただし、②、③で、AD//BCである。 ①: 四角形ABCDは、対角線ACとBDで分割される二つの三角形ABCとADCから構成されます。それぞれの三角形の面積を求めて、合計します。 ②: 四角形ABCDは台形です。上底AD=4cm、下底BC=7cm、高さ5cmです。 ③: 四角形ABCDは台形です。上底AD=10cm、下底BC=20cm、高さ10cmです。

幾何学三角形の面積四角形の面積台形三角関数ヘロンの公式
2025/8/14

1. 問題の内容

(1)次の三角形の面積を求めなさい。
①: 一辺の長さが6cm、挟む角が60°の三角形の面積を求めます。
②: 一辺の長さが4cm, 6cm, 挟む角が45°の三角形の面積を求めます。
(2)次の四角形ABCDの面積を求めなさい。ただし、②、③で、AD//BCである。
①: 四角形ABCDは、対角線ACとBDで分割される二つの三角形ABCとADCから構成されます。それぞれの三角形の面積を求めて、合計します。
②: 四角形ABCDは台形です。上底AD=4cm、下底BC=7cm、高さ5cmです。
③: 四角形ABCDは台形です。上底AD=10cm、下底BC=20cm、高さ10cmです。

2. 解き方の手順

(1)
①: 三角形の面積の公式 S=12absinCS = \frac{1}{2}ab\sin{C} を使います。a=6,b=6,C=60a = 6, b = 6, C = 60^\circ なので、sin60=32\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} を代入します。
②: 三角形の面積の公式 S=12absinCS = \frac{1}{2}ab\sin{C} を使います。a=4,b=6,C=45a = 4, b = 6, C = 45^\circ なので、sin45=22\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} を代入します。
(2)
①:
三角形ABCの面積は SABC=12×2×3×sinACBS_{ABC} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \sin{\angle ACB}
三角形ADCの面積は SADC=12×3×3×sinCADS_{ADC} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin{\angle CAD}
四角形ABCDの面積は SABCD=SABC+SADCS_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}
しかし、ACB\angle ACBCAD\angle CADの情報がないので、ヘロンの公式を用いてそれぞれの三角形の面積を求めます。
三角形ABCの3辺の長さは2, 3, 3なので、ヘロンの公式より s=(2+3+3)/2=4s = (2+3+3)/2 = 4 なので SABC=4(42)(43)(43)=4×2×1×1=8=22S_{ABC} = \sqrt{4(4-2)(4-3)(4-3)} = \sqrt{4 \times 2 \times 1 \times 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
三角形ADCの3辺の長さは3, 3, 3なので正三角形なので、SADC=34×32=934S_{ADC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}
したがって、四角形ABCDの面積は 22+9342\sqrt{2} + \frac{9\sqrt{3}}{4} となります。
②: 台形の面積の公式 S=12(a+b)hS = \frac{1}{2}(a+b)h を使います。a=4,b=7,h=5a = 4, b = 7, h = 5 を代入します。
③: 台形の面積の公式 S=12(a+b)hS = \frac{1}{2}(a+b)h を使います。a=10,b=20,h=10a = 10, b = 20, h = 10 を代入します。

3. 最終的な答え

(1)
①: 12×6×6×32=93cm2\frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \, \text{cm}^2
②: 12×4×6×22=62cm2\frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \, \text{cm}^2
(2)
①: 22+934cm22\sqrt{2} + \frac{9\sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2
②: 12(4+7)×5=552cm2\frac{1}{2}(4+7) \times 5 = \frac{55}{2} \, \text{cm}^2
③: 12(10+20)×10=150cm2\frac{1}{2}(10+20) \times 10 = 150 \, \text{cm}^2

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