放物線 $y = \frac{a}{2}x^2$ と円 $x^2 + (y-a)^2 = a$ が接するとき、$a$ の値を求める。ただし、$a \geq 1$ とする。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{a}{2}x^2$ と円 $x^2 + (y-a)^2 = a$ が接するとき、$a$ の値を求める。ただし、$a \geq 1$ とする。

2. 解き方の手順

放物線と円の式から $x^2$ を消去する。放物線の式を変形して $x^2 = \frac{2}{a}y$ を得る。これを円の式に代入すると、

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\frac{2}{a}y + (y-a)^2 = a

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\frac{2}{a}y + y^2 - 2ay + a^2 = a

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y^2 + (\frac{2}{a} - 2a)y + a^2 - a = 0

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y^2 + \frac{2-2a^2}{a}y + a(a-1) = 0

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接するということは、この $y$ についての2次方程式が重解を持つということなので、判別式 $D = 0$ となる。

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D = (\frac{2-2a^2}{a})^2 - 4a(a-1) = 0

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\frac{4(1-a^2)^2}{a^2} - 4a^2 + 4a = 0

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\frac{(1-a^2)^2}{a^2} - a^2 + a = 0

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(1 - a^2)^2 - a^4 + a^3 = 0

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1 - 2a^2 + a^4 - a^4 + a^3 = 0

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a^3 - 2a^2 + 1 = 0

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(a-1)(a^2 - a - 1) = 0

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$a \geq 1$ より、$a = 1$ または $a^2 - a - 1 = 0$ である。

$a^2 - a - 1 = 0$ を解くと、

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a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

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$a \geq 1$ なので、$a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$a=1$ のとき、放物線は $y = \frac{1}{2}x^2$ であり、円は $x^2 + (y-1)^2 = 1$ となる。

放物線の式から $x^2 = 2y$ で、円の式は $2y + (y-1)^2 = 1$ つまり $2y + y^2 - 2y + 1 = 1$ より $y^2 = 0$ となり、$y = 0$ (重解)。

よって接する。

$a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ のときも、接する。

3. 最終的な答え

$a = 1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$