点 $A(p, q)$ が円 $(x-2)^2 + y^2 = 3$ 上を動き、点 $B(u, v)$ が円 $(x-6)^2 + y^2 = 9$ 上を動くとき、$pu + qv$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $A(p, q)$ が円 $(x-2)^2 + y^2 = 3$ 上を動き、点 $B(u, v)$ が円 $(x-6)^2 + y^2 = 9$ 上を動くとき、$pu + qv$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$ を考えます。

すると、$pu + qv$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ で表されます。

円 $(x-2)^2 + y^2 = 3$ は、中心が $(2, 0)$ で半径が $\sqrt{3}$ の円です。

したがって、

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 + \sqrt{3}\cos\theta \\ \sqrt{3}\sin\theta \end{pmatrix}$ と表すことができます。

同様に、円 $(x-6)^2 + y^2 = 9$ は、中心が $(6, 0)$ で半径が $3$ の円です。

したがって、

$\vec{b} = \begin{pmatrix} 6 + 3\cos\phi \\ 3\sin\phi \end{pmatrix}$ と表すことができます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 + \sqrt{3}\cos\theta)(6 + 3\cos\phi) + (\sqrt{3}\sin\theta)(3\sin\phi)$

$= 12 + 6\cos\phi + 6\sqrt{3}\cos\theta + 3\sqrt{3}\cos\theta\cos\phi + 3\sqrt{3}\sin\theta\sin\phi$

$= 12 + 6\cos\phi + 6\sqrt{3}\cos\theta + 3\sqrt{3}\cos(\theta - \phi)$

ここで、ベクトル $\vec{OA} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ 、$\vec{OB} = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$ とすると、$\vec{a} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \vec{OA}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \vec{OB}$ です。

$pu + qv = \vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}|\cos\psi$ (ただし、$\psi$ は $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ のなす角)

この式を使う代わりに、コーシー・シュワルツの不等式を用いることを考えます。

コーシー・シュワルツの不等式より、

$(pu + qv)^2 \le (p^2 + q^2)(u^2 + v^2)$

円の中心をそれぞれ $O_A = (2, 0)$, $O_B = (6, 0)$ とすると、

$\vec{OA} = \vec{OO_A} + \vec{O_AA}$

$\vec{OB} = \vec{OO_B} + \vec{O_BB}$

$|\vec{OA}| \le |\vec{OO_A}| + |\vec{O_AA}| = 2 + \sqrt{3}$

$|\vec{OB}| \le |\vec{OO_B}| + |\vec{O_BB}| = 6 + 3 = 9$

ここで、$\vec{OO_A}$ と $\vec{O_AA}$、$\vec{OO_B}$ と $\vec{O_BB}$ が同一直線上にあるとき（同じ向き）、

$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ も同一直線上にあるとき、$pu + qv$ は最大値または最小値を持ちます。

このとき、$pu + qv = \vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}| = (2 + \sqrt{3}) \times 9 = 18 + 9\sqrt{3}$

または

$pu + qv = \vec{OA} \cdot \vec{OB} = -|\vec{OA}||\vec{OB}| = -(2 + \sqrt{3}) \times 9 = -18 - 9\sqrt{3}$

しかし、$\vec{OO_A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\vec{OO_B} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}$ は同じ方向を向いているため、

$pu+qv$ が最大となるのは、$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ が同じ方向を向いているとき、

$pu+qv$ が最小となるのは、$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ が反対方向を向いているときです。

$pu + qv$ の最大値は、$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ が同じ方向を向いているときで、

$(2 + \sqrt{3}) \times (6 + 3) = 18 + 9\sqrt{3}$

$pu + qv$ の最小値は、$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ が反対方向を向いているときで、

$-(\sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} + \sqrt{3}) \times (\sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 0)^2} + 3) = -(2 + \sqrt{3}) \times (6 + 3) = -18 - 9\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

最大値：$18 + 9\sqrt{3}$

最小値：$-18 - 9\sqrt{3}$