原点を端点とする半直線上の2点P($x$, $y$)とQ($X$, $Y$)が$OP \cdot OQ = 1$を満たしている。このとき、以下の各場合について点Qの軌跡を求めよ。 (1) 点Pが原点を通る直線$ax+by=0$上を動くとき (2) 点Pが円$(x+1)^2+(y-2)^2=5$上を動くとき (3) 点Pが原点を通らない円$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$上を動くとき。ただし、$r > 0$とする。

1. 問題の内容

原点を端点とする半直線上の2点P($x$, $y$)とQ($X$, $Y$)が$OP \cdot OQ = 1$を満たしている。このとき、以下の各場合について点Qの軌跡を求めよ。

(1) 点Pが原点を通る直線$ax+by=0$上を動くとき

(2) 点Pが円$(x+1)^2+(y-2)^2=5$上を動くとき

(3) 点Pが原点を通らない円$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$上を動くとき。ただし、$r > 0$とする。

2. 解き方の手順

まず、$OP$と$OQ$の関係から、$x, y, X, Y$の関係を導く。$OP = \sqrt{x^2 + y^2}$、$OQ = \sqrt{X^2 + Y^2}$なので、$OP \cdot OQ = 1$より、$\sqrt{x^2+y^2} \sqrt{X^2+Y^2} = 1$である。また、PとQは原点を端点とする半直線上にあるので、$x = kX$, $y = kY$ ($k$は正の実数)と表せる。

$OP = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{k^2X^2 + k^2Y^2} = k\sqrt{X^2+Y^2}$.

$OP \cdot OQ = k\sqrt{X^2+Y^2} \cdot \sqrt{X^2+Y^2} = k(X^2+Y^2) = 1$

したがって、$k = \frac{1}{X^2+Y^2}$。

よって、$x = \frac{X}{X^2+Y^2}$, $y = \frac{Y}{X^2+Y^2}$が成り立つ。

(1) 点Pが直線$ax+by=0$上を動くとき

$a \frac{X}{X^2+Y^2} + b \frac{Y}{X^2+Y^2} = 0$

$aX+bY=0$

よって、点Qの軌跡は直線$aX+bY=0$である。

(2) 点Pが円$(x+1)^2+(y-2)^2=5$上を動くとき

$(\frac{X}{X^2+Y^2} + 1)^2 + (\frac{Y}{X^2+Y^2} - 2)^2 = 5$

$(\frac{X+X^2+Y^2}{X^2+Y^2})^2 + (\frac{Y-2X^2-2Y^2}{X^2+Y^2})^2 = 5$

$(X+X^2+Y^2)^2 + (Y-2X^2-2Y^2)^2 = 5(X^2+Y^2)^2$

$X^2 + (X^2+Y^2)^2 + 2X(X^2+Y^2) + Y^2 + 4(X^2+Y^2)^2 - 4Y(X^2+Y^2) = 5(X^2+Y^2)^2$

$X^2 + Y^2 + 2X(X^2+Y^2) - 4Y(X^2+Y^2) = 0$

$X^2 + Y^2 + 2X(X^2+Y^2) - 4Y(X^2+Y^2) = 0$

$(X^2 + Y^2)(1+2X-4Y) = 0$

$X^2+Y^2 = 0$ または $1+2X-4Y = 0$

$X^2+Y^2 = 0$は原点のみを表すので、$1+2X-4Y = 0$

$2X - 4Y + 1 = 0$

よって、点Qの軌跡は直線$2X - 4Y + 1 = 0$である。

(3) 点Pが円$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$上を動くとき

$(\frac{X}{X^2+Y^2}-a)^2 + (\frac{Y}{X^2+Y^2}-b)^2=r^2$

$(\frac{X-a(X^2+Y^2)}{X^2+Y^2})^2 + (\frac{Y-b(X^2+Y^2)}{X^2+Y^2})^2 = r^2$

$(X-a(X^2+Y^2))^2 + (Y-b(X^2+Y^2))^2 = r^2(X^2+Y^2)^2$

$X^2 - 2aX(X^2+Y^2) + a^2(X^2+Y^2)^2 + Y^2 - 2bY(X^2+Y^2) + b^2(X^2+Y^2)^2 = r^2(X^2+Y^2)^2$

$X^2 + Y^2 - 2aX(X^2+Y^2) - 2bY(X^2+Y^2) + (a^2+b^2)(X^2+Y^2)^2 = r^2(X^2+Y^2)^2$

$(X^2+Y^2)[1 - 2aX - 2bY + (a^2+b^2)(X^2+Y^2) - r^2(X^2+Y^2)] = 0$

$X^2+Y^2 = 0$または$1 - 2aX - 2bY + (a^2+b^2-r^2)(X^2+Y^2) = 0$

$1 - 2aX - 2bY + (a^2+b^2-r^2)(X^2+Y^2) = 0$

$(a^2+b^2-r^2)(X^2+Y^2) - 2aX - 2bY + 1 = 0$

$X^2+Y^2 - \frac{2a}{a^2+b^2-r^2}X - \frac{2b}{a^2+b^2-r^2}Y + \frac{1}{a^2+b^2-r^2} = 0$

$(X - \frac{a}{a^2+b^2-r^2})^2 + (Y - \frac{b}{a^2+b^2-r^2})^2 = \frac{a^2}{(a^2+b^2-r^2)^2} + \frac{b^2}{(a^2+b^2-r^2)^2} - \frac{1}{a^2+b^2-r^2}$

$(X - \frac{a}{a^2+b^2-r^2})^2 + (Y - \frac{b}{a^2+b^2-r^2})^2 = \frac{a^2+b^2 - (a^2+b^2-r^2)}{(a^2+b^2-r^2)^2}$

$(X - \frac{a}{a^2+b^2-r^2})^2 + (Y - \frac{b}{a^2+b^2-r^2})^2 = \frac{r^2}{(a^2+b^2-r^2)^2}$

よって、点Qの軌跡は中心$(\frac{a}{a^2+b^2-r^2}, \frac{b}{a^2+b^2-r^2})$, 半径$\frac{r}{|a^2+b^2-r^2|}$の円である。

3. 最終的な答え

(1) $aX+bY=0$

(2) $2X-4Y+1=0$

(3) $(X - \frac{a}{a^2+b^2-r^2})^2 + (Y - \frac{b}{a^2+b^2-r^2})^2 = \frac{r^2}{(a^2+b^2-r^2)^2}$