座標平面上の点Pから放物線 $y = x^2 + x$ へ2本の接線が引け、かつその2本の接線が直交するとき、点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

座標平面上の点Pから放物線 $y = x^2 + x$ へ2本の接線が引け、かつその2本の接線が直交するとき、点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点Pの座標を $(X, Y)$ とおきます。

次に、放物線 $y = x^2 + x$ 上の点 $(t, t^2 + t)$ における接線を考えます。

この接線の傾きは $y' = 2x + 1$ より、$2t + 1$ となります。

したがって、接線の方程式は以下のようになります。

$y - (t^2 + t) = (2t + 1)(x - t)$

この接線が点P $(X, Y)$ を通るので、以下の方程式が成り立ちます。

$Y - (t^2 + t) = (2t + 1)(X - t)$

これを $t$ について整理すると、以下の2次方程式が得られます。

$Y - t^2 - t = 2Xt - 2t^2 + X - t$

$t^2 - 2Xt + Y - X = 0$

この2次方程式の2つの解を $t_1$, $t_2$ とすると、$t_1$, $t_2$ はそれぞれ2本の接線の接点の $x$ 座標を表します。

点Pから2本の接線が引けるためには、この2次方程式が異なる2つの実数解を持たなければなりません。

したがって、判別式 $D > 0$ である必要があります。

$D = (-2X)^2 - 4(Y - X) = 4X^2 - 4Y + 4X > 0$

$X^2 + X - Y > 0$

2本の接線が直交するためには、それぞれの傾きの積が $-1$ でなければなりません。つまり、$(2t_1 + 1)(2t_2 + 1) = -1$ となります。

$4t_1 t_2 + 2(t_1 + t_2) + 1 = -1$

$4t_1 t_2 + 2(t_1 + t_2) + 2 = 0$

$2t_1 t_2 + (t_1 + t_2) + 1 = 0$

解と係数の関係より、$t_1 + t_2 = 2X$, $t_1 t_2 = Y - X$ なので、これを代入すると、

$2(Y - X) + 2X + 1 = 0$

$2Y - 2X + 2X + 1 = 0$

$2Y + 1 = 0$

$Y = -\frac{1}{2}$

このとき、$X^2 + X - Y > 0$ より $X^2 + X + \frac{1}{2} > 0$。

これは $(X + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} > 0$ なので、常に成立します。

3. 最終的な答え

求める軌跡は直線 $y = -\frac{1}{2}$