2点 $A(0, 2)$ と $B(2, 2)$ が与えられており、円 $x^2 + y^2 - 2ax - 2by = 0$ があります。この円の中心 $P$ の存在範囲を、以下の2つの場合について図示してください。 (ア) 2点 $A$, $B$ がともに円の外部にある場合 (イ) 線分 $AB$ がつねに円の外部にある場合

1. 問題の内容

2点 $A(0, 2)$ と $B(2, 2)$ が与えられており、円 $x^2 + y^2 - 2ax - 2by = 0$ があります。この円の中心 $P$ の存在範囲を、以下の2つの場合について図示してください。

(ア) 2点 $A$, $B$ がともに円の外部にある場合

(イ) 線分 $AB$ がつねに円の外部にある場合

2. 解き方の手順

(ア) 2点 A, B がともに円の外部にある場合

円の方程式は、$x^2 + y^2 - 2ax - 2by = 0$ であり、これは $(x-a)^2 + (y-b)^2 = a^2 + b^2$ と変形できます。

したがって、円の中心 $P$ は $(a, b)$ であり、半径は $\sqrt{a^2 + b^2}$ です。

点 $A(0, 2)$ が円の外部にある条件は、

$0^2 + 2^2 - 2a(0) - 2b(2) > 0$

$4 - 4b > 0$

$b < 1$

点 $B(2, 2)$ が円の外部にある条件は、

$2^2 + 2^2 - 2a(2) - 2b(2) > 0$

$8 - 4a - 4b > 0$

$2 - a - b > 0$

$a + b < 2$

したがって、点 $P(a, b)$ の存在範囲は、$b < 1$ かつ $a + b < 2$ を満たす領域です。

(イ) 線分 AB がつねに円の外部にある場合

線分 $AB$ 上の点は $tA + (1-t)B$ ($0 \le t \le 1$) で表される。

$t(0, 2) + (1-t)(2, 2) = (2-2t, 2)$

線分AB上の任意の点 $(2-2t, 2)$ が円の外部にあるための条件は、

$(2-2t)^2 + 2^2 - 2a(2-2t) - 2b(2) > 0$

$4 - 8t + 4t^2 + 4 - 4a + 4at - 4b > 0$

$4t^2 + (4a - 8)t + 8 - 4a - 4b > 0$

これが $0 \le t \le 1$ で常に成立するための条件を考えます。

$f(t) = 4t^2 + (4a - 8)t + 8 - 4a - 4b$ と置きます。

$f(t)$ が $0 \le t \le 1$ で常に正であるための条件は、$f(0) > 0$ かつ $f(1) > 0$ かつ 軸の位置によって場合分けを検討する必要があります。

$f(0) = 8 - 4a - 4b > 0$ より、 $a + b < 2$

$f(1) = 4 + 4a - 8 + 8 - 4a - 4b = 4 - 4b > 0$ より、$b < 1$

軸は $t = -(4a-8)/8 = (8-4a)/8 = 1 - a/2$ です。

軸が $0 < t < 1$ すなわち $0 < 1 - a/2 < 1$ のとき、$0 < a/2 < 1$ より、$0 < a < 2$ です。

このとき、$f(t)$ の最小値が正である必要があります。

$f(1 - a/2) = 4(1 - a/2)^2 + (4a - 8)(1 - a/2) + 8 - 4a - 4b > 0$

$= 4(1 - a + a^2/4) + 4a - 2a^2 - 8 + 4a + 8 - 4a - 4b > 0$

$= 4 - 4a + a^2 + 4a - 2a^2 - 4b > 0$

$-a^2 + 4 - 4b > 0$

$a^2 + 4b < 4$

$b < 1 - a^2/4$

軸が $t \le 0$ すなわち $1 - a/2 \le 0$ のとき、$a \ge 2$ です。このとき、$f(0) > 0$ と $f(1) > 0$ が成り立てばよいので、$a + b < 2$ かつ $b < 1$ です。しかし、$a \ge 2$ なので $a+b < 2$ より $b < 2-a \le 0$ となるので $b < 0$となります。

軸が $t \ge 1$ すなわち $1 - a/2 \ge 1$ のとき、$a \le 0$ です。このとき、$f(0) > 0$ と $f(1) > 0$ が成り立てばよいので、$a + b < 2$ かつ $b < 1$ です。

したがって、線分 $AB$ がつねに円の外部にある条件は、$a+b<2$, $b<1$, $b < 1 - a^2/4$です。

3. 最終的な答え

(ア) $b < 1$ かつ $a + b < 2$ を満たす領域を図示する。

(イ) $a+b<2$, $b<1$, $b < 1 - a^2/4$ を満たす領域を図示する。