三角形ABCがあり、各辺の長さは、$AB = 3$, $BC = 3\sqrt{2}$, $CA = \sqrt{3}$ である。三角形ABCの外接円の中心をOとする。直線AOと外接円との交点のうち、Aと異なる点をDとする。このとき、線分ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、各辺の長さは、$AB = 3$, $BC = 3\sqrt{2}$, $CA = \sqrt{3}$ である。三角形ABCの外接円の中心をOとする。直線AOと外接円との交点のうち、Aと異なる点をDとする。このとき、線分ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ において、余弦定理を用いて $\angle BAC$ を求める。

$\cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{3^2 + (\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{9 + 3 - 18}{6\sqrt{3}} = \frac{-6}{6\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

したがって、$\angle BAC = 150^{\circ}$ である。

ここで、円周角の定理より、$\angle BDC = \angle BAC = 150^{\circ}$ である。

また、円の中心Oを通る弦ADは直径であるから、$\angle ABD = 90^{\circ}$ である。

$\triangle ABD$ において、$AD$は外接円の直径なので、$AD = 2R$（Rは外接円の半径）である。

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$

$2R = \frac{3\sqrt{2}}{\sin 150^{\circ}} = \frac{3\sqrt{2}}{1/2} = 6\sqrt{2}$

したがって、$AD = 6\sqrt{2}$ である。

3. 最終的な答え

$AD = 6\sqrt{2}$