四角形OABCは辺OAを下底、辺CBを上底とする等脚台形であり、$\angle AOC = \angle OAB$である。$a=|\overrightarrow{OA}|$, $c=|\overrightarrow{OC}|$, $m=\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}$とする。 (1) $m < \frac{a^2}{2}$ が成り立つことを示せ。 (2) 等脚台形OABCの面積Sをa, c, mを用いて表せ。 (3) 対角線OBとACの交点をDとするとき、$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OC}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

四角形OABCは辺OAを下底、辺CBを上底とする等脚台形であり、$\angle AOC = \angle OAB$である。$a=|\overrightarrow{OA}|$, $c=|\overrightarrow{OC}|$, $m=\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}$とする。

(1) $m < \frac{a^2}{2}$ が成り立つことを示せ。

(2) 等脚台形OABCの面積Sをa, c, mを用いて表せ。

(3) 対角線OBとACの交点をDとするとき、$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OC}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

$\angle AOC = \theta$ とおく。$m = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OC}| \cos \theta = ac \cos \theta$となる。

$\angle AOC = \angle OAB$ なので、$\theta < \frac{\pi}{2}$。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$

$|\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}|^2 = |\overrightarrow{OC}|^2 + |\overrightarrow{OA}|^2 - 2\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = c^2 + a^2 - 2m$

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}$

$|\overrightarrow{OB}|^2 = |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}|^2$

等脚台形なので、$AC = OB$であるから、$|\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{OB}|^2$

$|\overrightarrow{AC}|^2 = c^2 + a^2 - 2m$

また、四角形OABCは等脚台形なので、$|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{OB}|$ であり、$\angle AOC = \angle OAB$ である。

$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{OC}$は平行なので、$\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{OC}$ と表せる。$|\overrightarrow{AB}| = k|\overrightarrow{OC}| = kc$

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OC}$

$|\overrightarrow{OB}|^2 = |\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OC}|^2 = a^2 + k^2c^2 + 2k\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} = a^2 + k^2c^2 + 2km$

したがって、$c^2 + a^2 - 2m = a^2 + k^2c^2 + 2km$

$c^2 - 2m = k^2c^2 + 2km$

$c^2(1-k^2) = 2m(1+k)$

$c^2(1-k)(1+k) = 2m(1+k)$

$1+k \neq 0$ より、$c^2(1-k) = 2m$

$m = \frac{c^2(1-k)}{2}$

また、$\overrightarrow{BC} = l \overrightarrow{OA}$とおくと、$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} - (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} - k\overrightarrow{OC} = (1-k)\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = l\overrightarrow{OA}$

$(1-k)\overrightarrow{OC} = (l+1)\overrightarrow{OA}$

したがって、$(1-k)|\overrightarrow{OC}| = (l+1)|\overrightarrow{OA}|$

$(1-k)c = (l+1)a$

$l = \frac{(1-k)c}{a} - 1$

$\overrightarrow{OC}$と$\overrightarrow{OA}$は平行ではないので、$(1-k)\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = l\overrightarrow{OA}$ が成り立つのは、

$1-k=0$ かつ $l = -1$ のときのみ。しかし、$k \neq 1$ より、これは成り立たない。

$\angle AOC$ が鋭角より、$m > 0$である。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$.

$\triangle OAC$ において、$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 OA \cdot OC \cos \theta = a^2 + c^2 - 2m$.

$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OC}$が一致しないとき、$a^2 + c^2 > 2ac$が成り立つ。

$a^2+c^2-2m > 0$

平行四辺形でないとき、 $AC < OA + OC$ である。

$\sqrt{a^2+c^2-2m} < a+c$

$a^2 + c^2 - 2m < a^2 + c^2 + 2ac$

$-2m < 2ac$

$-m < ac$

$\overrightarrow{CB} = k \overrightarrow{OA}$とおくと、

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OC} + k \overrightarrow{OA}$.

$OB^2 = (\overrightarrow{OC} + k \overrightarrow{OA})^2 = OC^2 + 2k \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} + k^2 OA^2 = c^2 + 2km + k^2 a^2$.

$AC^2 = OB^2$ より、$a^2 + c^2 - 2m = c^2 + 2km + k^2 a^2$.

$a^2 - 2m = 2km + k^2 a^2$

$a^2 (1-k^2) = 2m(1+k)$.

$a^2 (1-k) (1+k) = 2m (1+k)$.

$a^2 (1-k) = 2m$.

$m = \frac{a^2 (1-k)}{2}$.

$CB < OA$ より、$k<1$.

したがって、$1-k > 0$.

よって、$m < \frac{a^2}{2}$.

(2)

台形の面積は、(上底+下底)×高さ÷2 である。

$OA = a$, $CB = ka$. 高さをhとする。

$h = c \sin \theta$.

$S = \frac{(a + ka) c \sin \theta}{2}$.

$S = \frac{a(1+k) c \sin \theta}{2}$.

$m = ac \cos \theta$.

$a^2(1-k) = 2m$.

$1-k = \frac{2m}{a^2}$.

$k = 1 - \frac{2m}{a^2}$.

$S = \frac{a (2 - \frac{2m}{a^2}) c \sin \theta}{2} = ac (1 - \frac{m}{a^2}) \sin \theta$.

$\cos \theta = \frac{m}{ac}$.

$\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{m^2}{a^2 c^2}}$.

$S = ac(1-\frac{m}{a^2}) \sqrt{1-\frac{m^2}{a^2 c^2}} = (ac-\frac{mc}{a}) \frac{\sqrt{a^2 c^2 - m^2}}{ac} = \frac{(a^2-m)c}{a^2 c} \sqrt{a^2 c^2 - m^2} = \frac{a^2 - m}{a^2} \sqrt{a^2 c^2 - m^2} = \frac{a^2 - m}{a^2} \sqrt{a^2 c^2 - m^2}$

(3)

$\overrightarrow{OD} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OC}$.

点DはOB上にあるので、$\overrightarrow{OD} = k \overrightarrow{OB}$ と表せる。

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OC}$.

$\overrightarrow{OD} = k (\overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OC}) = k \overrightarrow{OA} + k \lambda \overrightarrow{OC}$.

また、点DはAC上にあるので、$\overrightarrow{OD} = (1-l) \overrightarrow{OA} + l \overrightarrow{OC}$.

$k = 1-l$ かつ $k \lambda = l$.

$k + k \lambda = 1$

$k(1+\lambda) = 1$

$k = \frac{1}{1+\lambda}$.

$a^2 (1-\lambda) = 2m$.

$\lambda = 1 - \frac{2m}{a^2}$.

$k = \frac{1}{2 - \frac{2m}{a^2}} = \frac{a^2}{2 a^2 - 2m} = \frac{a^2}{2(a^2-m)}$.

$\overrightarrow{OD} = \frac{a^2}{2(a^2-m)} \overrightarrow{OA} + \frac{a^2}{2(a^2-m)} (1 - \frac{2m}{a^2}) \overrightarrow{OC} = \frac{a^2}{2(a^2-m)} \overrightarrow{OA} + \frac{a^2 - 2m}{2(a^2-m)} \overrightarrow{OC}$.

$\overrightarrow{OD} = \frac{a^2}{2(a^2 - m)} \overrightarrow{OA} + \frac{a^2 - 2m}{2(a^2 - m)} \overrightarrow{OC}$.

3. 最終的な答え

(1) $m < \frac{a^2}{2}$

(2) $S = \frac{a^2 - m}{a^2}\sqrt{a^2 c^2 - m^2}$

(3) $\overrightarrow{OD} = \frac{a^2}{2(a^2 - m)} \overrightarrow{OA} + \frac{a^2 - 2m}{2(a^2 - m)} \overrightarrow{OC}$