四角形OABCは、辺OAを下底、辺CBを上底とし、$\angle AOC$と$\angle OAB$が等しい等脚台形である。$a = |\overrightarrow{OA}|$, $c = |\overrightarrow{OC}|$, $m = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}$とおく。 (1) $m < \frac{a^2}{2}$が成り立つことを示す。 (2) 等脚台形OABCの面積Sをa, c, mを用いて表す。 (3) 対角線OBとACの交点をDとするとき、$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OC}$を用いて表す。

1. 問題の内容

四角形OABCは、辺OAを下底、辺CBを上底とし、$\angle AOC$と$\angle OAB$が等しい等脚台形である。$a = |\overrightarrow{OA}|$, $c = |\overrightarrow{OC}|$, $m = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}$とおく。

(1) $m < \frac{a^2}{2}$が成り立つことを示す。

(2) 等脚台形OABCの面積Sをa, c, mを用いて表す。

(3) 対角線OBとACの交点をDとするとき、$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OC}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とおく。

$\angle AOC = \theta$とおくと、$m = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|\cos{\theta} = ac\cos{\theta}$となる。

$\angle OAB = \theta$でもある。

$\theta > \frac{\pi}{2}$のとき、$\cos{\theta} < 0$より、$m < 0 < \frac{a^2}{2}$となるので、$m < \frac{a^2}{2}$が成立する。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$のとき、$\triangle OAC$において余弦定理より

$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2OA \cdot OC \cos{\theta} = a^2 + c^2 - 2m$

同様に$\triangle OAB$において余弦定理より

$OB^2 = OA^2 + AB^2 - 2OA \cdot AB \cos{\theta}$

等脚台形なので、$AC = OB$、また$AB = OC$であるので、

$AC^2 = OB^2$より、$a^2 + c^2 - 2m = a^2 + c^2 - 2ac\cos{\theta}$

$a^2 + c^2 - 2m = a^2 + c^2 - 2m$

$OA=a, OC=c$

$OA>OC$より、$a > c$

$\angle OAB = \angle AOC = \theta$より, $a>c$より、$m=ac\cos{\theta} < a^2\cos{\theta}$

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{CB} = k \overrightarrow{OA}$, $k>0$より

$\overrightarrow{OB} = k\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$

$\angle AOC = \theta, m = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|\cos\theta = ac\cos\theta$

$\angle OAB = \theta$

仮定より$a>c$

$\overrightarrow{CB} = t \overrightarrow{OA}$とおく

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OC} + t \overrightarrow{OA}$

$OB^2 = |\overrightarrow{OC} + t \overrightarrow{OA}|^2 = c^2 + 2t\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} + t^2a^2 = c^2 + 2tm + t^2a^2$

$OB = AC$より

$AC^2 = |\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}|^2 = a^2 + c^2 - 2m$

$c^2 + 2tm + t^2a^2 = a^2 + c^2 - 2m$

$2tm + t^2a^2 = a^2 - 2m$

$a^2 - 2m > 0$, $m< \frac{a^2}{2}$

(2)

$S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|\sin{\theta} + \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{CB}|\sin{\theta} = \frac{1}{2}ac\sin{\theta} + \frac{1}{2}a(a-c)\sin{\theta}$

$S = \frac{1}{2}(a^2-c^2)\sqrt{1-\cos^2\theta}$

$\cos\theta = \frac{m}{ac}$

$S = \frac{1}{2}\sqrt{a^2c^2 - m^2} (a-c)$

$S = \frac{a+c}{2}\sqrt{a^2c^2-m^2}/a$

(3)

$\overrightarrow{OD} = x\overrightarrow{OB}$かつ$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{OA}$なので、

$x(\overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{OA} + y(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA})$

$xt\overrightarrow{OA} + x\overrightarrow{OC} = (1-y)\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OC}$

$xt=1-y$

$x=y$

$xt+x=1$

$x = \frac{1}{1+t}$

$t = \frac{a^2-2m}{2m+a^2t}$

3. 最終的な答え

(1) $m < \frac{a^2}{2}$

(2) $S = \frac{a+c}{2}\sqrt{a^2c^2-m^2}$

(3) $\overrightarrow{OD} = \frac{2m}{a^2}\overrightarrow{OC} + \frac{a^2 - 2m}{a^2}\overrightarrow{OA}$