三角形 ABC において、$b=10$, $A=60^\circ$, $B=45^\circ$ であるとき、辺 BC の長さ $a$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、$b=10$, $A=60^\circ$, $B=45^\circ$ であるとき、辺 BC の長さ $a$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて辺の長さを求めます。正弦定理は、三角形の各辺の長さを $a, b, c$、それぞれの対角の大きさを $A, B, C$ とすると、以下のようになります。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

この問題では、$b=10$, $A=60^\circ$, $B=45^\circ$ が与えられており、$a$ を求めることができます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$a = \frac{b \sin A}{\sin B}$

与えられた値を代入します。

$a = \frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$a = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$a = 5\sqrt{6}$