三角形ABCにおいて、$b=3$, $c=5$, $A=120^\circ$ であるとき、辺BCの長さ$a$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=3$, $c=5$, $A=120^\circ$ であるとき、辺BCの長さ$a$を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて辺$a$の長さを計算します。余弦定理は次のように表されます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

与えられた値を代入すると

$a^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5) \cos 120^\circ$

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ であるので、

$a^2 = 9 + 25 - 30 (-\frac{1}{2})$

$a^2 = 34 + 15$

$a^2 = 49$

$a > 0$ より、$a = \sqrt{49}$

$a = 7$

3. 最終的な答え

$a = 7$