$\theta$ が鋭角であり、$\cos{\theta} = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角であり、$\cos{\theta} = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\theta$ が鋭角であることから、$\sin{\theta} > 0$ かつ $\tan{\theta} > 0$ であることに注意します。

三角関数の相互関係を利用します。まず、$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ の関係を使います。

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ に $\cos{\theta} = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin^2{\theta} + (\frac{1}{3})^2 = 1$

$\sin^2{\theta} + \frac{1}{9} = 1$

$\sin^2{\theta} = 1 - \frac{1}{9}$

$\sin^2{\theta} = \frac{8}{9}$

$\sin{\theta} = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\theta$ は鋭角なので、$\sin{\theta} > 0$ であるから、

$\sin{\theta} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ を利用します。

$\tan{\theta} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{3}{1} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan{\theta} = 2\sqrt{2}$