$AD // BC$ である台形 $ABCD$ について、以下の条件のうち、常に円に内接するものはどれか。 選択肢は以下の通り。 1. いずれも反例がある

1. 問題の内容

$AD // BC$ である台形 $ABCD$ について、以下の条件のうち、常に円に内接するものはどれか。

選択肢は以下の通り。

1. いずれも反例がある

2. $AD = BC$

3. $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$

4. $AB // CD$

5. $AB = CD$ かつ $\angle B = \angle C$

6. わからない

2. 解き方の手順

台形 $ABCD$ が円に内接するためには、向かい合う角の和が $180^{\circ}$ である必要がある。つまり、$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ かつ $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ が成り立つ必要がある。また、$AD // BC$ より、$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ および $\angle C + \angle D = 180^{\circ}$ が成り立つ。

2. $AD = BC$ の場合：

台形 $ABCD$ が等脚台形となる。等脚台形は円に内接する。

$\angle A = \angle D$ かつ $\angle B = \angle C$ であり、$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ なので、$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ が成り立つ。

3. $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ の場合：

これは $AD // BC$ である台形の性質なので、円に内接するための条件とは関係ない。

4. $AB // CD$ の場合：

$AD // BC$ かつ $AB // CD$ なので、平行四辺形となる。平行四辺形が円に内接するのは長方形のときのみ。したがって、常に円に内接するとは限らない。

5. $AB = CD$ かつ $\angle B = \angle C$ の場合：

$AD // BC$ のとき、$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$ であり、$\angle C + \angle D = 180^{\circ}$ である。$\angle B = \angle C$ より、$\angle A = \angle D$ となる。

$AB = CD$ より等脚台形となるので、円に内接する。

したがって、選択肢2と5が正しい。

3. 最終的な答え

2と5