四面体OABCにおいて、OAの中点をM、BCを1:2に内分する点をQとする。線分MQの中点をRとし、直線ORと平面ABCの交点をPとする。 $\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{OR}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表し、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表す。 また、空間内の4点O(0,0,0), A(1,2,1), B(2,0,0), C(-2,1,3)があるとき、点Cから平面OABに下ろした垂線をCHとするとき、点Hの座標を求める。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、OAの中点をM、BCを1:2に内分する点をQとする。線分MQの中点をRとし、直線ORと平面ABCの交点をPとする。

$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$ とするとき、$\vec{OR}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表し、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表す。

また、空間内の4点O(0,0,0), A(1,2,1), B(2,0,0), C(-2,1,3)があるとき、点Cから平面OABに下ろした垂線をCHとするとき、点Hの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OM} = \frac{1}{2} \vec{a}$, $\vec{OQ} = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ である。

$\vec{OR} = \frac{1}{2} (\vec{OM} + \vec{OQ}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}) = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$

したがって、$\vec{OR} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$

(2) Pは直線OR上にあるので、ある実数 $k$ を用いて $\vec{OP} = k \vec{OR} = \frac{k}{4} \vec{a} + \frac{k}{3} \vec{b} + \frac{k}{6} \vec{c}$ と表せる。

また、Pは平面ABC上にあるので、$\vec{OP} = s \vec{a} + t \vec{b} + u \vec{c}$, $s + t + u = 1$ と表せる。

したがって、$\frac{k}{4} = s$, $\frac{k}{3} = t$, $\frac{k}{6} = u$ であり、$\frac{k}{4} + \frac{k}{3} + \frac{k}{6} = 1$ が成り立つ。

$\frac{3k + 4k + 2k}{12} = 1$ より、$\frac{9k}{12} = 1$, $k = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

$\vec{OP} = \frac{4/3}{4} \vec{a} + \frac{4/3}{3} \vec{b} + \frac{4/3}{6} \vec{c} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{4}{9} \vec{b} + \frac{2}{9} \vec{c}$

(3) $\vec{OH} = s \vec{OA} + t \vec{OB}$ とおける。

$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = s \vec{OA} + t \vec{OB} - \vec{OC} = (s, 2s, s) + (2t, 0, 0) - (-2, 1, 3) = (s+2t+2, 2s-1, s-3)$

$\vec{CH} \perp \vec{OA}$ かつ $\vec{CH} \perp \vec{OB}$ であるから、

$\vec{CH} \cdot \vec{OA} = 0$ かつ $\vec{CH} \cdot \vec{OB} = 0$

$(s+2t+2) + 2(2s-1) + (s-3) = 0$ かつ $2(s+2t+2) = 0$

$s + 2t + 2 + 4s - 2 + s - 3 = 0$ より $6s + 2t - 3 = 0$

$s + 2t + 2 = 0$ より $2t = -s - 2$

$6s - s - 2 - 3 = 0$ より $5s = 5$, $s = 1$

$2t = -1 - 2 = -3$ より $t = -\frac{3}{2}$

$\vec{OH} = \vec{OA} - \frac{3}{2} \vec{OB} = (1, 2, 1) - \frac{3}{2} (2, 0, 0) = (1, 2, 1) - (3, 0, 0) = (-2, 2, 1)$

3. 最終的な答え

$\vec{OR} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$

$\vec{OP} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{4}{9} \vec{b} + \frac{2}{9} \vec{c}$

Hの座標は (-2, 2, 1)