$\triangle OAB$ において、$OA = 2\sqrt{2}$, $OB = \sqrt{3}$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$ である。$\overrightarrow{OH} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とするとき、点Hが辺AB上にあるとき、$s+t = [1]$ であり、さらに $\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AB}$ ならば $[2]s - t = [3]$ である。ゆえに、①, ②より、辺AB上に $\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AB}$ となる点Hがあるとき、$\overrightarrow{OH} = \frac{[4]}{[5]}\overrightarrow{OA} + \frac{[6]}{[7]}\overrightarrow{OB}$ となる。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$OA = 2\sqrt{2}$, $OB = \sqrt{3}$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$ である。$\overrightarrow{OH} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とするとき、点Hが辺AB上にあるとき、$s+t = [1]$ であり、さらに $\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AB}$ ならば $[2]s - t = [3]$ である。ゆえに、①, ②より、辺AB上に $\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AB}$ となる点Hがあるとき、$\overrightarrow{OH} = \frac{[4]}{[5]}\overrightarrow{OA} + \frac{[6]}{[7]}\overrightarrow{OB}$ となる。

2. 解き方の手順

(1) 点Hが辺AB上にあるとき、$s+t = 1$ なので、[1] = 1。

(2) $\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AB}$ のとき、$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ なので、

$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = (s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}) \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = s(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}) - s|\overrightarrow{OA}|^2 + t|\overrightarrow{OB}|^2 - t(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}) = 0$。

$|\overrightarrow{OA}|^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$, $|\overrightarrow{OB}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$ を代入すると、

$2s - 8s + 3t - 2t = 0$

$-6s + t = 0$

$t = 6s$

$s+t=1$に代入すると

$s+6s=1$

$7s=1$

$s=\frac{1}{7}$

$t=6s=\frac{6}{7}$

$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{7} \overrightarrow{OA} + \frac{6}{7} \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AB}$ より、$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ となる条件は、$t=6s$。

$s+t=1$ より、 $s = 1-t$。

$t = 6(1-t)$

$t = 6 - 6t$

$7t = 6$

$t = \frac{6}{7}$

$s = 1-t = 1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}) - |\overrightarrow{OA}|^2 = 2 - 8 = -6$

$\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{OB}|^2 - (\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}) = 3 - 2 = 1$

$(\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{OA})\overrightarrow{OA} + (\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{OB})\overrightarrow{OB} = 0$。

$\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AB}$ なので、$(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\cdot(s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB})=0$。つまり、$s(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})-s|\overrightarrow{OA}|^2+t|\overrightarrow{OB}|^2-t(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}) = 0$。

$s(2)-s(8)+t(3)-t(2)=0$

$-6s+t=0$

$t=6s$

$s+t=1$ なので $s+6s=1$, よって $7s=1$、$s = \frac{1}{7}$, $t=\frac{6}{7}$。

問題文は $2s - t = [3]$ となるような数 [2], [3] を求める問題ではなく、$s-t$ を [2] 倍すると [3] になるような [2], [3] を求める問題。

$-6s + t = 0$ を変形すると、$6s = t$。よって、$-6s + t = 0$ の両辺に -1 をかけると、 $6s - t = 0$。

$2s-t = [3]$に合うように変形すると、 $-6s + t = 0$ を $-1$ 倍すると $6s -t = 0$。

[2] $=-6, [3]=0$ または[2] $6, [3]=0$となる。

$2 s-t=[3]$に当てはまる組み合わせを探す。[2]= -6の場合はs+t=1から $s=\frac{1}{7} , t=\frac{6}{7}$より $-6s-t=-\frac{6}{7}-\frac{6}{7}=-\frac{12}{7} =[3]$ これは当てはまらない。

別の方法で考える。

$-6s+t=0$を変形して$s-t=2$を満たすようなものを探すと $-6s +t$=-1とすると$6s-t=1$になる。

[2]s-t=[3]は、条件より6s-t=0なので、$s-t$を変形して6s-tの形にする。s+t=1と合わせて解くと条件を満たすs,tが見つかる可能性がある。

$6s-t=0$という結果が得られたので$2s-t=[3]$となる条件から、[2]=6 , [3]=0

[2]=6, [3]=0となる。

(3) $\overrightarrow{OH} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ であり、s, tの値を求める。

$s=\frac{1}{7}, t=\frac{6}{7}$

したがって、$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{7}\overrightarrow{OA} + \frac{6}{7}\overrightarrow{OB}$

[4] = 1, [5] = 7, [6] = 6, [7] = 7

3. 最終的な答え

[1] = 1

[2] = 6

[3] = 0

[4] = 1

[5] = 7

[6] = 6

[7] = 7