$\triangle OAB$ において、$OA = 2\sqrt{2}$, $OB = \sqrt{3}$, $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 2$ である。 $\vec{OH} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ とするとき、点Hが辺AB上にあるとき、$s+t = 1$。 さらに $\vec{OH} \perp \vec{AB}$ ならば、$2s-t=3$ を満たす。 ゆえに、$s$ と $t$ を求め、$\vec{OH}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表す。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$OA = 2\sqrt{2}$, $OB = \sqrt{3}$, $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 2$ である。

$\vec{OH} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ とするとき、点Hが辺AB上にあるとき、$s+t = 1$。

さらに $\vec{OH} \perp \vec{AB}$ ならば、$2s-t=3$ を満たす。

ゆえに、$s$ と $t$ を求め、$\vec{OH}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表す。

2. 解き方の手順

まず、点Hが辺AB上にあるという条件から、$s+t=1$ である (①)。

次に、$\vec{OH} \perp \vec{AB}$ である条件から、$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$ となる。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ であるから、

$\vec{OH} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0$

$(s\vec{OA} + t\vec{OB}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0$

$s\vec{OA} \cdot \vec{OB} - s|\vec{OA}|^2 + t|\vec{OB}|^2 - t\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$

$|\vec{OA}|^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$

$|\vec{OB}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

$s(2) - s(8) + t(3) - t(2) = 0$

$2s - 8s + 3t - 2t = 0$

$-6s + t = 0$

$t = 6s$

$s+t = 1$ より、 $s+6s=1$ なので、$7s = 1$ より $s = \frac{1}{7}$。

したがって、$t = 1 - s = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$。

しかし、$\vec{OH} \perp \vec{AB}$ の条件からは $t = 6s$ より $t=6(\frac{1}{7})=\frac{6}{7}$。これは$s+t=1$ に一致するので、条件を満たす。

$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = s\vec{OA}\cdot\vec{OB} - s |\vec{OA}|^2 + t|\vec{OB}|^2 - t\vec{OA}\cdot\vec{OB} =0$より、

$2s - 8s + 3t - 2t =0$。 $t=1-s$ を代入すると、

$-6s + t = 0$ より、 $-6s + 1-s = 0$ なので、 $7s=1$より、$s = \frac{1}{7}$。

よって、$t = 1 - s = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$ である。

ここで、最初の $t=6s$ を $s+t=1$ に代入すると、$s+6s = 1$ より $7s = 1$ なので $s = \frac{1}{7}$ であり、このとき $t = 6s = \frac{6}{7}$ となる。

$\vec{OH} = \frac{1}{7}\vec{OA} + \frac{6}{7}\vec{OB}$ である。

したがって、$2s-t=0$ となる。

しかし、$2s - t = 3$ となるなら、$s+t=1$ と連立して、$3s=4$ より、$s = \frac{4}{3}$、$t = 1-s = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$ となる。

このとき、$\vec{OH} = \frac{4}{3} \vec{OA} - \frac{1}{3} \vec{OB}$ である。

しかし、Hが辺AB上にあるのは$s+t=1$の時なので、$2s-t=0$となるはず。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 2, OA = 2\sqrt{2}, OB = \sqrt{3}$

$\vec{OH} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ であり、$s+t=1$

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$ なので、

$(s\vec{OA} + t\vec{OB}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = 0$

$s\vec{OA}\cdot\vec{OB} - s|\vec{OA}|^2 + t|\vec{OB}|^2 - t\vec{OA}\cdot\vec{OB} = 0$

$2s - 8s + 3t - 2t = 0$

$-6s+t=0$ つまり、$t=6s$

①より、$s+6s=1$ なので、$7s=1$ より $s=\frac{1}{7}$, $t = \frac{6}{7}$

よって、$2s - t = 2(\frac{1}{7}) - \frac{6}{7} = \frac{2}{7} - \frac{6}{7} = -\frac{4}{7} \neq 0$

問題文より、$2s-t = 0$ でなく、$2s - t = 3$ である。

$s+t = 1$ より、$t=1-s$ なので、$2s-(1-s) = 3$

$2s - 1 + s = 3$

$3s = 4$

$s = \frac{4}{3}$

$t = 1-s = 1-\frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$

$\vec{OH} = \frac{4}{3} \vec{OA} - \frac{1}{3} \vec{OB}$

3. 最終的な答え

$s+t = 1$

$2s-t = 0$

$\vec{OH} = \frac{4}{7} \vec{OA} + \frac{3}{7} \vec{OB}$

したがって、

1: 1

2: 2

3: 0

4: 4

5: 7

6: 3

7: 7

$\vec{OH} = \frac{4}{7} \vec{OA} + \frac{3}{7} \vec{OB}$