点$(0, 5)$を通り、$x$軸に接する円の中心の軌跡を求める。

1. 問題の内容

点$(0, 5)$を通り、$x$軸に接する円の中心の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

円の中心を$(x, y)$とする。

$x$軸に接するので、円の半径は$|y|$である。

円の方程式は$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$で表されるので、この場合

$(x-x)^2 + (y-y)^2 = y^2$ となる。

この円は点$(0, 5)$を通るので、これを代入すると、

$(0-x)^2 + (5-y)^2 = y^2$

$x^2 + 25 - 10y + y^2 = y^2$

$x^2 + 25 - 10y = 0$

$10y = x^2 + 25$

$y = \frac{1}{10} x^2 + \frac{25}{10}$

$y = \frac{1}{10}x^2 + \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{10}x^2 + \frac{5}{2}$