点 $(0, 5)$ を通り、$x$ 軸に接する円の中心の軌跡を求める。

1. 問題の内容

点 $(0, 5)$ を通り、$x$ 軸に接する円の中心の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

円の中心を $(x, y)$ とおく。

$x$軸に接するため、円の半径は $|y|$ となる。

円の方程式は $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$ で表されることを利用すると、円の方程式は

$(x - x)^2 + (y - y)^2 = y^2$ となる。

この円が $(0, 5)$ を通るから、

$(0 - x)^2 + (5 - y)^2 = y^2$ が成り立つ。

これを整理して、$x$ と $y$ の関係式を導き出す。

$(0 - x)^2 + (5 - y)^2 = y^2$

$x^2 + 25 - 10y + y^2 = y^2$

$x^2 + 25 - 10y = 0$

$10y = x^2 + 25$

$y = \frac{1}{10}x^2 + \frac{25}{10}$

$y = \frac{1}{10}x^2 + \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

求める軌跡は、$y = \frac{1}{10}x^2 + \frac{5}{2}$