直線 $x-2 = \frac{y+1}{2} = 1-z$ 上の点と原点との距離の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $x-2 = \frac{y+1}{2} = 1-z$ 上の点と原点との距離の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線を媒介変数表示する。

$x-2 = \frac{y+1}{2} = 1-z = t$ とおくと、

$x = t+2$

$y = 2t-1$

$z = 1-t$

となる。

直線上の点を $P(t+2, 2t-1, 1-t)$ とする。原点Oから点Pまでの距離 $OP$ は、

$OP = \sqrt{(t+2)^2 + (2t-1)^2 + (1-t)^2} = \sqrt{t^2 + 4t + 4 + 4t^2 - 4t + 1 + 1 - 2t + t^2} = \sqrt{6t^2 - 2t + 6}$

$OP^2 = 6t^2 - 2t + 6 = 6(t^2 - \frac{1}{3}t) + 6 = 6(t - \frac{1}{6})^2 - 6(\frac{1}{36}) + 6 = 6(t - \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{6} + 6 = 6(t - \frac{1}{6})^2 + \frac{35}{6}$

$OP^2$ が最小になるのは、 $t = \frac{1}{6}$ のときで、最小値は $\frac{35}{6}$ となる。

よって、 $OP$ の最小値は $\sqrt{\frac{35}{6}} = \frac{\sqrt{210}}{6}$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{210}}{6}$