三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 112^\circ$ であり、$CA=AP=PQ=QB$である。このとき、$\angle ABC$の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle BAC = 112^\circ$ であり、$CA=AP=PQ=QB$である。このとき、$\angle ABC$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle CAP$, $\triangle AQP$, $\triangle PQB$ が二等辺三角形であることに注目する。

$\angle ABC = x$ とおく。

$\triangle PQB$において、$PQ = QB$ であるから、$\angle BPQ = \angle PBQ = \angle ABC = x$

$\angle BQP = 180^\circ - 2x$

$\angle AQP = 180^\circ - \angle BQP = 180^\circ - (180^\circ - 2x) = 2x$

$\triangle AQP$において、$AP = PQ$ であるから、$\angle PAQ = \angle PQA = 2x$

$\angle APQ = 180^\circ - 4x$

$\angle CAP = \angle CAB - \angle PAB = 112^\circ - (\angle PAQ) = 112^\circ - 2x$

$\triangle CAP$において、$CA = AP$ であるから、$\angle APC = \angle ACP$

$\angle APC = \angle ACP = \frac{180^\circ - (112^\circ - 2x)}{2} = \frac{68^\circ + 2x}{2} = 34^\circ + x$

$\angle CPB = \angle APQ + \angle BPQ = 180^\circ - 4x + x = 180^\circ - 3x$

$\angle APB = \angle APC + \angle CPB = 34^\circ + x + 180^\circ - 3x = 214^\circ - 2x$

$\angle ACB = \angle ACP = 34^\circ + x$

$\triangle ABC$において、内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$112^\circ + x + 34^\circ + x = 180^\circ$

$2x + 146^\circ = 180^\circ$

$2x = 34^\circ$

$x = 17^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle ABC = 17^\circ$