一辺の長さが1cmの正方形ABCDに、頂点Aを共有する正三角形AEFが内接している。線分BEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1cmの正方形ABCDに、頂点Aを共有する正三角形AEFが内接している。線分BEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、BEの長さを $x$ とおく。

正方形ABCDの一辺の長さは1cmなので、$AB = 1$ である。したがって、$AE = 1-x$ である。

正三角形AEFの一辺の長さは$AE$に等しいので、$AF = AE = 1-x$ となる。

同様に、$AD = 1$ なので、$DF = 1-AF = 1-(1-x) = x$ となる。

次に、$\triangle ABE$と$\triangle ADF$に着目する。$\triangle ABE$と$\triangle ADF$は合同である。

なぜなら、$AB=AD=1$、 $AE=AF=1-x$、$\angle BAE = \angle DAF$ だからである。

($\angle EAF = 60^\circ$ より、$\angle BAE = 90^\circ - 60^\circ - \angle DAF$)。

したがって、$BE = DF = x$ である。

$\triangle ABE$に三平方の定理を適用すると、

$AB^2 + BE^2 = AE^2$

$1^2 + x^2 = (1-x)^2$

$1 + x^2 = 1 - 2x + x^2$

$2x = 0$

$x = 0$

しかし、これは明らかに不適。$\angle BAE = \angle DAF$ は成り立たない。

$AE = AF = 1-x$ で、正三角形より $AE=EF=FA$。

$BE = x$, $DF=y$ とおく。

合同条件を考慮して、$\angle BAE = \theta$ とおく。

すると、$\angle DAF = 90^\circ - 60^\circ - \theta = 30^\circ - \theta$。

したがって、$\triangle ABE$ と $\triangle ADF$は合同ではない。

$\triangle ABE$に三平方の定理を適用すると、$1 + x^2 = (1-y)^2$

正三角形の性質から、$\angle EAB + \angle FAD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

$AE = AF$ なので、$AE = 1-x$ 、$AF = 1-DF$。

したがって、$DF = 1 - (1-x) = x$ 。よって、$AD=1$。

$\triangle ABE$において、$\angle ABE = \alpha$, $\angle BAE = \theta$とすると、

$\triangle ADF$において、$\angle ADF = \alpha$, $\angle DAF = 30^\circ - \theta$ となる。

$AE = AF = 1-x$

$\triangle ADF$に三平方の定理を適用すると、

$AD^2 + DF^2 = AF^2$

$1 + DF^2 = (1-x)^2$

$1 + DF^2 = 1-2x+x^2$

$DF^2 = x^2-2x$

ここで、$DF = \sqrt{x^2 - 2x}$ となる。

一方、$AF = 1-x$ なので、$DF = x$ であるという仮定から、

$1 + x^2 = (1-x)^2$, $x = 0$ という結果になり、正しくない。

$DF^2= x^2-2x$

$DF = \sqrt{-2x+x^2}=x$

両辺を二乗して、$x^2-2x=1-AF^2$

$\angle EAB + \angle FAD = 30^\circ$ より、$\cos(30^\circ)=\cos(\angle EAB)\cos(\angle FAD) - \sin(\angle EAB)\sin(\angle FAD)$.

正弦定理を使う。

$AB=1$, $AD=1$, $AE = 1-x$

$\frac{BE}{\sin \angle BAE} = \frac{AB}{\sin \angle AEB}$

$\frac{DF}{\sin \angle DAF} = \frac{AD}{\sin \angle AFD}$

$\sin\angle AEB = \sin(\angle AFD) = 3x - 1$

$\angle AEB = \angle AFD$ となる

$x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ cm