一辺の長さが1cmの正方形ABCDに内接し、頂点Aを共有する正三角形AEFを作る。線分BEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1cmの正方形ABCDに内接し、頂点Aを共有する正三角形AEFを作る。線分BEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle ABE$の角度を求める。正方形の内角は90度、正三角形の内角は60度なので、$\angle ABE = 90^\circ - \angle AEF = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$となる。

次に、$\triangle ABE$に着目する。$\angle ABE = 30^\circ$、$\angle BAE = 60^\circ$、AB = 1cmである。

$BE = x$とおくと、tanを使って以下の式が成り立つ。

$tan(\angle BAE) = \frac{BE}{AB}$

$tan(60^\circ) = \frac{x}{1}$

$x = \frac{\sqrt{3}-1}{1} = \sqrt{3} - 1$

三角形ABEは直角三角形なので、

$tan(30^\circ) = \frac{AE}{AB}$

$AE = AB * tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

このことから、$AB=1$で、$BE = x$とすると、

$tan(30) = \frac{x}{1}$

よって、$x = tan(30) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

また, $AE = 1 - x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

線分BEの長さは $\sqrt{3} - 1$ cm。

$BE = \sqrt{3} - 1$