三角形OABにおいて、$|\overrightarrow{OA}| = 2\sqrt{2}$、 $|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{5}$、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$とする。辺ABを2:1に内分する点をCとし、直線OAに関して、Cと対称な点をDとする。 (1) $\overrightarrow{OC}$を$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$を用いて表せ。また、$|\overrightarrow{OC}|$を求めよ。 (2) $\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$を用いて表せ。 (3) 三角形OBDの面積を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$|\overrightarrow{OA}| = 2\sqrt{2}$、 $|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{5}$、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$とする。辺ABを2:1に内分する点をCとし、直線OAに関して、Cと対称な点をDとする。

(1) $\overrightarrow{OC}$を$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$を用いて表せ。また、$|\overrightarrow{OC}|$を求めよ。

(2) $\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$を用いて表せ。

(3) 三角形OBDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Cは辺ABを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{OC} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OB}}{2 + 1} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$

次に、$|\overrightarrow{OC}|$を求める。

$|\overrightarrow{OC}|^2 = |\frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}|^2$

$= (\frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}) \cdot (\frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB})$

$= \frac{1}{9}|\overrightarrow{OA}|^2 + \frac{4}{9} \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \frac{4}{9}|\overrightarrow{OB}|^2$

$= \frac{1}{9}(2\sqrt{2})^2 + \frac{4}{9}(2) + \frac{4}{9}(\sqrt{5})^2$

$= \frac{1}{9}(8) + \frac{8}{9} + \frac{20}{9} = \frac{36}{9} = 4$

よって、$|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{4} = 2$

(2) 点Dは直線OAに関して点Cと対称なので、$\overrightarrow{OD}$は$\overrightarrow{OB}$の$\overrightarrow{OA}$への正射影ベクトルに$\frac{4}{3}$をかけたものと、$\overrightarrow{OB}$の$\overrightarrow{OA}$への正射影ベクトルに垂直な成分を合わせたものになる。

$\overrightarrow{OA}$方向の成分は、$\overrightarrow{OA}$方向の単位ベクトルを$\overrightarrow{e}$とすると、

$\overrightarrow{OC}$の$\overrightarrow{OA}$への正射影ベクトルは、$\frac{\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|^2} \overrightarrow{OA}$ である。

$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = (\frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OA} = \frac{1}{3} |\overrightarrow{OA}|^2 + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA} = \frac{1}{3}(8) + \frac{2}{3}(2) = \frac{12}{3} = 4$

したがって、$\frac{\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|^2} \overrightarrow{OA} = \frac{4}{8} \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OC}$の$\overrightarrow{OA}$に垂直な成分は、$\overrightarrow{OC} - \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB} - \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} = -\frac{1}{6} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$

よって、$\overrightarrow{OD}$ は $\frac{1}{2}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$を$\overrightarrow{OA}$に関して反転させたものであるから、 $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} - (-\frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} - \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$.

(3) 三角形OBDの面積は、三角形OBCの面積の2倍である。

三角形OABの面積をSとすると、

$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2 - (\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(8)(5) - (2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{40 - 4} = \frac{1}{2} \sqrt{36} = 3$

$\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$ より、

$\triangle OBC = \frac{2}{3} \triangle OAB = \frac{2}{3} (3) = 2$.

$\triangle OBD = 2 \times \triangle OAC = 2 \times |\frac{1}{2} \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OD}|$

したがって、$S_{OBD} = |\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OD}| = |\overrightarrow{OB} \times (\frac{2}{3} \overrightarrow{OA} - \frac{2}{3} \overrightarrow{OB})| = |\frac{2}{3} \overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OA} - \frac{2}{3} \overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OB}| = |\frac{2}{3} \overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OA}| = \frac{2}{3} |\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OA}| = \frac{2}{3} \times 2S_{OAB}= \frac{4}{3} S_{OAB} = 4$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$、 $|\overrightarrow{OC}| = 2$

(2) $\overrightarrow{OD} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OA} - \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$

(3) 三角形OBDの面積は4