$a$ が実数全体を動くとき、次の2直線 $x - ay - 1 = 0$ $ax + y - 1 = 0$ の交点Pの軌跡を求める問題です。軌跡は円の形になり、中心と半径を求め、軌跡から除くべき点を答える必要があります。

1. 問題の内容

$a$ が実数全体を動くとき、次の2直線

$x - ay - 1 = 0$

$ax + y - 1 = 0$

の交点Pの軌跡を求める問題です。軌跡は円の形になり、中心と半径を求め、軌跡から除くべき点を答える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つの式から $a$ を消去することを考えます。

$x - ay - 1 = 0$ ...(1)

$ax + y - 1 = 0$ ...(2)

(1)より $ay = x - 1$ ...(3)

(2)より $ax = 1 - y$ ...(4)

(3)と(4)を掛け合わせると、

$(ay)(ax) = (x - 1)(1 - y)$

$a^2xy = (x - 1)(1 - y)$ ...(5)

(1)と(2)より、$x - ay = 1$と$ax + y = 1$です。両辺をそれぞれ2乗すると、

$(x - ay)^2 = 1$

$(ax + y)^2 = 1$

展開すると、

$x^2 - 2axy + a^2y^2 = 1$

$a^2x^2 + 2axy + y^2 = 1$

2つの式を足し合わせると、

$x^2 + a^2y^2 + a^2x^2 + y^2 = 2$

$x^2 + y^2 + a^2(x^2 + y^2) = 2$

$(x^2 + y^2)(1 + a^2) = 2$ ...(6)

式(1)と(2)から $a$ を消去する別の方法として、

(1)より $a = \frac{x-1}{y}$

(2)に代入すると、$\frac{x-1}{y} x + y - 1 = 0$

$(x-1)x + y(y-1) = 0$

$x^2 - x + y^2 - y = 0$

$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - y + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$

これは、中心 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, 半径 $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$の円を表します。

次に、除外点を考えます。

$y = 0$のとき、(1)より $x = 1$、(2)より $ax = 1$ で $a = \frac{1}{x} = 1$となるので、(1, 0) は円上の点です。

しかし、 $y=0$ は $a = \frac{x-1}{y}$ の分母が0になるため、 $a$ は定義できません。

したがって、$(1, 0)$は除く必要があります。

(1)と(2)より、 $x = 1, y=0$の場合、$a$が定まらないため、この点は軌跡から除く必要があります。

3. 最終的な答え

点Pの軌跡は、

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$

ただし、点 $(1, 0)$ を除く。