2点 $A(\sqrt{2}, 0)$ と $B(-\sqrt{2}, 0)$ が与えられたとき、$AP + BP = 6$ を満たす点 $P$ の軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $A(\sqrt{2}, 0)$ と $B(-\sqrt{2}, 0)$ が与えられたとき、$AP + BP = 6$ を満たす点 $P$ の軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。$AP = \sqrt{(x - \sqrt{2})^2 + y^2}$ および $BP = \sqrt{(x + \sqrt{2})^2 + y^2}$ です。問題の条件より、

$\sqrt{(x - \sqrt{2})^2 + y^2} + \sqrt{(x + \sqrt{2})^2 + y^2} = 6$

$\sqrt{(x + \sqrt{2})^2 + y^2} = 6 - \sqrt{(x - \sqrt{2})^2 + y^2}$

両辺を2乗します。

$(x + \sqrt{2})^2 + y^2 = 36 - 12\sqrt{(x - \sqrt{2})^2 + y^2} + (x - \sqrt{2})^2 + y^2$

$x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 + y^2 = 36 - 12\sqrt{(x - \sqrt{2})^2 + y^2} + x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 + y^2$

$4\sqrt{2}x - 36 = -12\sqrt{(x - \sqrt{2})^2 + y^2}$

$\sqrt{2}x - 9 = -3\sqrt{(x - \sqrt{2})^2 + y^2}$

両辺を2乗します。

$(\sqrt{2}x - 9)^2 = 9((x - \sqrt{2})^2 + y^2)$

$2x^2 - 18\sqrt{2}x + 81 = 9(x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 + y^2)$

$2x^2 - 18\sqrt{2}x + 81 = 9x^2 - 18\sqrt{2}x + 18 + 9y^2$

$0 = 7x^2 + 9y^2 - 63$

$7x^2 + 9y^2 = 63$

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{7} = 1$

これは楕円の式です。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{7} = 1$