$0 \leqq \theta < 2\pi$ のとき、以下の三角不等式を解きます。 (1) $\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\cos \theta \leqq -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\sin \theta \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$ (4) $\sqrt{2} \cos \theta - 1 < 0$ (5) $2 \sin \theta > \sqrt{3}$ (6) $2 \cos \theta + 1 \geqq 0$

はい、承知いたしました。三角不等式の問題を解きます。

1. 問題の内容

$0 \leqq \theta < 2\pi$ のとき、以下の三角不等式を解きます。

(1) $\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos \theta \leqq -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\sin \theta \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$

(4) $\sqrt{2} \cos \theta - 1 < 0$

(5) $2 \sin \theta > \sqrt{3}$

(6) $2 \cos \theta + 1 \geqq 0$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で、$\sin \theta < \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$0 \leqq \theta < \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} < \theta < 2\pi$

(2) $\cos \theta \leqq -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

$0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で、$\cos \theta \leqq -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$\frac{5\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{7\pi}{6}$

(3) $\sin \theta \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

$0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で、$\sin \theta \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$0 \leqq \theta \leqq \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \leqq \theta < 2\pi$

(4) $\sqrt{2} \cos \theta - 1 < 0$

$\sqrt{2} \cos \theta < 1$

$\cos \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

$0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で、$\cos \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4}$

(5) $2 \sin \theta > \sqrt{3}$

$\sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で、$\sin \theta > \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3}$

(6) $2 \cos \theta + 1 \geqq 0$

$2 \cos \theta \geqq -1$

$\cos \theta \geqq -\frac{1}{2}$

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

$0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で、$\cos \theta \geqq -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \leqq \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $0 \leqq \theta < \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} < \theta < 2\pi$

(2) $\frac{5\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{7\pi}{6}$

(3) $0 \leqq \theta \leqq \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \leqq \theta < 2\pi$

(4) $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4}$

(5) $\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3}$

(6) $0 \leqq \theta \leqq \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \leqq \theta < 2\pi$