三角形ABCの面積を求め、さらに各頂点A, B, Cを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求める。

## 問題１ (1) の解答

1. 問題の内容

三角形ABCの面積を求め、さらに各頂点A, B, Cを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求める。

2. 解き方の手順

まず、3つの頂点A, B, Cの座標を求めます。

* 点Aは2直線 $y=3x+6$ と $y=-x+10$ の交点なので、連立方程式を解きます。

$3x+6 = -x+10$

$4x = 4$

$x = 1$

$y = -1 + 10 = 9$

よって、A(1, 9)

* 点Bは直線 $y=3x+6$ とx軸(y=0)の交点なので、 $0=3x+6$ を解きます。

$3x = -6$

$x = -2$

よって、B(-2, 0)

* 点Cは直線 $y=-x+10$ とx軸(y=0)の交点なので、 $0=-x+10$ を解きます。

$x = 10$

よって、C(10, 0)

次に、三角形ABCの面積を求めます。底辺をBCとすると、BCの長さは $10 - (-2) = 12$ 、高さは点Aのy座標である9です。したがって、三角形ABCの面積は

$\frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54$

次に、各頂点を通る面積を2等分する直線を求めます。三角形の面積を2等分する直線は、その頂点と対辺の中点を通ります。

* 頂点Aを通る直線：

辺BCの中点は $((-2+10)/2, (0+0)/2) = (4, 0)$ です。

A(1, 9) と (4, 0) を通る直線の傾きは $\frac{0-9}{4-1} = \frac{-9}{3} = -3$

求める直線の式は $y = -3(x - 4) = -3x + 12$ よって $y = -3x + 12$.

* 頂点Bを通る直線：

辺ACの中点は $((1+10)/2, (9+0)/2) = (11/2, 9/2)$ です。

B(-2, 0) と (11/2, 9/2) を通る直線の傾きは $\frac{9/2 - 0}{11/2 - (-2)} = \frac{9/2}{15/2} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

求める直線の式は $y = \frac{3}{5}(x + 2) = \frac{3}{5}x + \frac{6}{5}$ よって $y = \frac{3}{5}x + \frac{6}{5}$

* 頂点Cを通る直線：

辺ABの中点は $((1+(-2))/2, (9+0)/2) = (-1/2, 9/2)$ です。

C(10, 0) と (-1/2, 9/2) を通る直線の傾きは $\frac{9/2 - 0}{-1/2 - 10} = \frac{9/2}{-21/2} = -\frac{9}{21} = -\frac{3}{7}$

求める直線の式は $y = -\frac{3}{7}(x - 10) = -\frac{3}{7}x + \frac{30}{7}$ よって $y = -\frac{3}{7}x + \frac{30}{7}$

3. 最終的な答え

* 三角形ABCの面積: 54

* 頂点Aを通る直線: $y = -3x + 12$

* 頂点Bを通る直線: $y = \frac{3}{5}x + \frac{6}{5}$

* 頂点Cを通る直線: $y = -\frac{3}{7}x + \frac{30}{7}$