点Pはx軸の正の方向に1秒間に4進み、点Qはy軸の正の方向に1秒間に3進みます。ある時刻に点Pは(1, 0), 点Qは(0, -3)にありました。PQ間の距離が最小となるのは、この時刻から何秒後かを求める問題です。

1. 問題の内容

点Pはx軸の正の方向に1秒間に4進み、点Qはy軸の正の方向に1秒間に3進みます。ある時刻に点Pは(1, 0), 点Qは(0, -3)にありました。PQ間の距離が最小となるのは、この時刻から何秒後かを求める問題です。

2. 解き方の手順

時刻を $t$ とします。

$t$秒後の点Pの座標は$(1 + 4t, 0)$、点Qの座標は$(0, -3 + 3t)$となります。

点Pと点Qの距離$L$は以下の式で表されます。

$L = \sqrt{(1+4t - 0)^2 + (0 - (-3+3t))^2} = \sqrt{(1+4t)^2 + (3-3t)^2}$

$L^2$ を最小にする $t$ を求めることが、$L$を最小にする $t$ を求めることと同じです。

$L^2 = (1+4t)^2 + (3-3t)^2 = 1 + 8t + 16t^2 + 9 - 18t + 9t^2 = 25t^2 - 10t + 10$

$L^2$ を $t$ で微分すると

$\frac{dL^2}{dt} = 50t - 10$

$\frac{dL^2}{dt} = 0$ となる $t$ は、$50t - 10 = 0$ より $t = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$

$L^2 = 25t^2 - 10t + 10 = 25(t^2 - \frac{2}{5}t) + 10 = 25(t - \frac{1}{5})^2 - 25(\frac{1}{25}) + 10 = 25(t - \frac{1}{5})^2 - 1 + 10 = 25(t - \frac{1}{5})^2 + 9$

この式より、$t = \frac{1}{5}$ のとき $L^2$ は最小値9を取ることが分かります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5}$ 秒後