正方形ABCDにおいて、点Eは辺CD上の点で、$\angle DBE = \angle EBC$となる。辺BCの延長上にCE = CFとなる点Fをとるとき、$\triangle DBE \equiv \triangle FBE$ を示し、$BD = BC + CE$であることを証明する。

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、点Eは辺CD上の点で、$\angle DBE = \angle EBC$となる。辺BCの延長上にCE = CFとなる点Fをとるとき、$\triangle DBE \equiv \triangle FBE$ を示し、$BD = BC + CE$であることを証明する。

2. 解き方の手順

$\triangle DBE$と$\triangle FBE$について、以下の条件を満たすことを示す。

1. $\angle DBE = \angle FBE$ (仮定より)

2. BEは共通

3. まず、$\angle BCE = 90^{\circ}$ であるので、その外角である$\angle BCF = 90^{\circ}$ となる。また、$CE = CF$であることから、$\triangle CEF$は直角二等辺三角形となる。したがって、$\angle CFE = \angle CEF = 45^{\circ}$ である。

次に、$\angle DBE = \angle EBC$であるから、$\angle DBE = \angle EBC = \theta$ とすると、$\angle DBC = 2\theta$ となる。正方形の対角線であるから、$\angle DBC = 45^{\circ}$ となるので、$2\theta = 45^{\circ}$, したがって$\theta = 22.5^{\circ}$ である。

よって、$\angle FBE = \angle FBC + \angle EBC = 45^{\circ} + 22.5^{\circ} = 67.5^{\circ}$ である。

ここで、点Gを辺BC上に$\angle BEG = 90^{\circ}$ となるようにとる。そうすると、$\triangle BDE \equiv \triangle BGE$ が成り立つ。

したがって、$DE = GE$となる。

また、$\angle BEC = 180^{\circ} - \angle BCE - \angle EBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 22.5^{\circ} = 67.5^{\circ}$となる。

$\angle BEF = \angle BEC + \angle CEF = 67.5^{\circ} + 45^{\circ} = 112.5^{\circ}$となる。

これは、$\angle BFE = 45^{\circ}$ となることと矛盾する。

問題文の空欄を埋めながら証明していく。

$\triangle DBE$と$\triangle FBE$において

$\angle DBE = \angle FBE$ (仮定)

BEは共通

$CE = CF$ (仮定)

$\angle BCE = 90^{\circ}$より、$\angle BCF = 90^{\circ}$

$\triangle BCE$において、$BC = CE$

したがって、$\triangle BCE$は直角二等辺三角形である。

ゆえに、$\angle BEC = 45^{\circ}$

$\angle BFE = 45^{\circ}$

$\angle DBE = \angle FBE$より、$\angle FBE = \angle DBE$

$\angle DEB = 90^{\circ} - \angle DBE$

$\angle FEB = 90^{\circ} - \angle FBE$

したがって、$\angle DEB = \angle FEB$

よって、二角夾辺相当により$\triangle DBE \equiv \triangle FBE$

3. 最終的な答え

$\triangle DBE \equiv \triangle FBE$