三角形ABCの3辺の長さ $a=3$, $b=2$, $c=\sqrt{10}$ が与えられたとき、この三角形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの3辺の長さ $a=3$, $b=2$, $c=\sqrt{10}$ が与えられたとき、この三角形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

ヘロンの公式を用いて三角形の面積を求める。

まず、$s = \frac{a+b+c}{2}$ を計算する。

$s = \frac{3+2+\sqrt{10}}{2} = \frac{5+\sqrt{10}}{2}$

ヘロンの公式より、

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$S = \sqrt{\frac{5+\sqrt{10}}{2}(\frac{5+\sqrt{10}}{2}-3)(\frac{5+\sqrt{10}}{2}-2)(\frac{5+\sqrt{10}}{2}-\sqrt{10})}$

$S = \sqrt{\frac{5+\sqrt{10}}{2}(\frac{-1+\sqrt{10}}{2})(\frac{1+\sqrt{10}}{2})(\frac{5-\sqrt{10}}{2})}$

$S = \sqrt{\frac{1}{16}(5+\sqrt{10})(-1+\sqrt{10})(1+\sqrt{10})(5-\sqrt{10})}$

$S = \frac{1}{4}\sqrt{(5+\sqrt{10})(5-\sqrt{10})(\sqrt{10}-1)(\sqrt{10}+1)}$

$S = \frac{1}{4}\sqrt{(25-10)(10-1)}$

$S = \frac{1}{4}\sqrt{15 \cdot 9}$

$S = \frac{1}{4}\sqrt{135}$

$S = \frac{1}{4}\sqrt{9 \cdot 15}$

$S = \frac{1}{4} \cdot 3\sqrt{15}$

$S = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3\sqrt{15}}{4}$