点Pと点Qがそれぞれx軸とy軸の正方向に一定の速度で進むとき、ある時刻におけるPとQの位置が与えられている。このとき、PとQの距離が最小となるのは、その時刻から何秒後であるかを求める問題です。

1. 問題の内容

点Pと点Qがそれぞれx軸とy軸の正方向に一定の速度で進むとき、ある時刻におけるPとQの位置が与えられている。このとき、PとQの距離が最小となるのは、その時刻から何秒後であるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

時刻を$t$秒後とする。

点Pは(1,0)からx軸の正の方向に1秒間に4進むので、$t$秒後の点Pの座標は$(1+4t, 0)$となる。

点Qは(0,-3)からy軸の正の方向に1秒間に3進むので、$t$秒後の点Qの座標は$(0, -3+3t)$となる。

PとQの距離の2乗を$L$とすると、

$L = (1+4t - 0)^2 + (0 - (-3+3t))^2 = (1+4t)^2 + (3-3t)^2$

$L = 1 + 8t + 16t^2 + 9 - 18t + 9t^2 = 25t^2 - 10t + 10$

$L$を最小にする$t$を求めるために、$L$を$t$で微分する。

$\frac{dL}{dt} = 50t - 10$

$\frac{dL}{dt} = 0$となる$t$を求める。

$50t - 10 = 0$より、$t = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$

$t = \frac{1}{5}$のとき、$L$は最小となる。

3. 最終的な答え

1/5秒後