円 $x^2 + y^2 = 5$ が直線 $y = x + 2$ から切り取る線分の長さを求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ が直線 $y = x + 2$ から切り取る線分の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円の中心(0, 0)と直線 $y = x + 2$ の距離を求めます。直線は $x - y + 2 = 0$ と変形できます。点と直線の距離の公式より、距離OMは、

$OM = \frac{|0 - 0 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

次に、円の半径rは、$r = \sqrt{5}$ です。

線分ABの中点をMとすると、三角形OAMは直角三角形なので、三平方の定理より、

$AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{5 - 2} = \sqrt{3}$

求める線分の長さABは、

$AB = 2AM = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3}$