2つの円 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ (①) と $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ (②) について、以下の問いに答えます。 (1) 2つの円の共有点の座標を求めます。 (2) 2つの円の共有点を通る直線の方程式を求めます。 (3) 2つの円の共有点と原点Oを通る円の中心の座標と半径を求めます。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ (①) と $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ (②) について、以下の問いに答えます。

(1) 2つの円の共有点の座標を求めます。

(2) 2つの円の共有点を通る直線の方程式を求めます。

(3) 2つの円の共有点と原点Oを通る円の中心の座標と半径を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円の共有点の座標を求める。

連立方程式

$x^2 + y^2 - 1 = 0$ (①)

$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ (②)

を解く。

② - ① より、

$-2x - 2y + 2 = 0$

$x + y - 1 = 0$

$y = 1 - x$ (③)

③を①に代入して、

$x^2 + (1 - x)^2 - 1 = 0$

$x^2 + 1 - 2x + x^2 - 1 = 0$

$2x^2 - 2x = 0$

$2x(x - 1) = 0$

$x = 0, 1$

$x = 0$ のとき、$y = 1 - 0 = 1$

$x = 1$ のとき、$y = 1 - 1 = 0$

よって、共有点の座標は$(0, 1)$と$(1, 0)$である。

(2) 2つの円の共有点を通る直線の方程式を求める。

2つの円の共有点を通る直線の方程式は、

$(x^2 + y^2 - 1) + k(x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1) = 0$

で表される。

これが直線を表すためには、$x^2$と$y^2$の係数が0になる必要がある。

したがって、$k = -1$とおくと、

$(x^2 + y^2 - 1) - (x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1) = 0$

$x^2 + y^2 - 1 - x^2 - y^2 + 2x + 2y - 1 = 0$

$2x + 2y - 2 = 0$

$x + y - 1 = 0$

$y = -x + 1$

(3) 2つの円の共有点と原点Oを通る円の中心の座標と半径を求める。

2つの円の共有点を通る円の方程式は、

$(x^2 + y^2 - 1) + k(x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1) = 0$

で表される。この円が原点を通るためには、$x = 0, y = 0$を代入して式が成り立つ必要がある。

$(0^2 + 0^2 - 1) + k(0^2 + 0^2 - 2(0) - 2(0) + 1) = 0$

$-1 + k = 0$

$k = 1$

よって、求める円の方程式は、

$(x^2 + y^2 - 1) + (x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1) = 0$

$2x^2 + 2y^2 - 2x - 2y = 0$

$x^2 + y^2 - x - y = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$

中心の座標は$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$、半径は$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 共有点の座標：$(0, 1), (1, 0)$

(2) 直線の方程式：$x + y - 1 = 0$

(3) 円の中心の座標：$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$、半径：$\frac{\sqrt{2}}{2}$