2つの直線 $y = -\frac{1}{2}x$ と $y = 3x$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) を求める問題です。

## (8)の問題

1. 問題の内容

2つの直線 $y = -\frac{1}{2}x$ と $y = 3x$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) を求める問題です。

2. 解き方の手順

直線の傾きとtanの関係を利用します。

直線 $y=mx+b$ の傾き $m$ は、その直線が $x$ 軸の正の方向となす角を $\alpha$ とすると、$m = \tan \alpha$ で表されます。

* 直線 $y = -\frac{1}{2}x$ の傾き $m_1 = -\frac{1}{2}$ なので、$\tan \alpha_1 = -\frac{1}{2}$ です。

* 直線 $y = 3x$ の傾き $m_2 = 3$ なので、$\tan \alpha_2 = 3$ です。

2直線のなす角 $\theta$ は $|\alpha_2 - \alpha_1|$ であるので、tan の加法定理を利用して $\tan \theta$ を求めます。

$\tan(\alpha_2 - \alpha_1) = \frac{\tan \alpha_2 - \tan \alpha_1}{1 + \tan \alpha_2 \tan \alpha_1}$

この式に $\tan \alpha_1 = -\frac{1}{2}$ と $\tan \alpha_2 = 3$ を代入します。

$\tan \theta = \left| \frac{3 - (-\frac{1}{2})}{1 + 3(-\frac{1}{2})} \right| = \left| \frac{3 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{7}{2}}{-\frac{1}{2}} \right| = |-7| = 7$

$\tan \theta = 7$ なので、$\theta = \arctan(7)$ です。

## (9)の問題

1. 問題の内容

2つの直線 $2x - y = 2$ と $(5\sqrt{3}-8)x - y + 3 = 0$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$) を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの直線を $y=mx+b$ の形に変形して、傾きを求めます。

* 直線 $2x - y = 2$ は $y = 2x - 2$ と変形できるので、傾きは $m_1 = 2$ です。

* 直線 $(5\sqrt{3}-8)x - y + 3 = 0$ は $y = (5\sqrt{3}-8)x + 3$ と変形できるので、傾きは $m_2 = 5\sqrt{3}-8$ です。

2直線のなす角 $\theta$ を求めるために、$\tan \theta$ を計算します。

$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{(5\sqrt{3}-8) - 2}{1 + 2(5\sqrt{3}-8)} \right| = \left| \frac{5\sqrt{3} - 10}{1 + 10\sqrt{3} - 16} \right| = \left| \frac{5\sqrt{3} - 10}{10\sqrt{3} - 15} \right| = \left| \frac{5(\sqrt{3} - 2)}{5(2\sqrt{3} - 3)} \right| = \left| \frac{\sqrt{3} - 2}{2\sqrt{3} - 3} \right|$

分母を有理化するために、分母と分子に $2\sqrt{3} + 3$ をかけます。

$\left| \frac{(\sqrt{3} - 2)(2\sqrt{3} + 3)}{(2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3)} \right| = \left| \frac{6 + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 6}{12 - 9} \right| = \left| \frac{-\sqrt{3}}{3} \right| = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$ なので、$\theta = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$ です。

3. 最終的な答え

(8) $\theta = \arctan(7)$

(9) $\theta = \frac{\pi}{6}$