2つの直線がなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ とします。 (8) $y = \frac{1}{2}x$ と $y = 3x$ がなす角 $\theta$ を求める。 (9) $2x - y = 2$ と $(5\sqrt{3}-8)x - y + 3 = 0$ がなす角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

2つの直線がなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ とします。

(8) $y = \frac{1}{2}x$ と $y = 3x$ がなす角 $\theta$ を求める。

(9) $2x - y = 2$ と $(5\sqrt{3}-8)x - y + 3 = 0$ がなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(8)

2直線の傾きをそれぞれ $m_1, m_2$ とすると、なす角 $\theta$ は以下の式で求められます。

$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$

$y = \frac{1}{2}x$ の傾き $m_1 = \frac{1}{2}$ であり、$y = 3x$ の傾き $m_2 = 3$ です。

したがって、

$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{2} - 3}{1 + \frac{1}{2} \cdot 3} \right| = \left| \frac{-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} \right| = |-1| = 1$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$

(9)

$2x - y = 2$ より、$y = 2x - 2$ なので、傾きは $m_1 = 2$ です。

$(5\sqrt{3} - 8)x - y + 3 = 0$ より、$y = (5\sqrt{3} - 8)x + 3$ なので、傾きは $m_2 = 5\sqrt{3} - 8$ です。

$\tan \theta = \left| \frac{2 - (5\sqrt{3} - 8)}{1 + 2(5\sqrt{3} - 8)} \right| = \left| \frac{10 - 5\sqrt{3}}{1 + 10\sqrt{3} - 16} \right| = \left| \frac{10 - 5\sqrt{3}}{10\sqrt{3} - 15} \right| = \left| \frac{5(2 - \sqrt{3})}{5(2\sqrt{3} - 3)} \right|$

$= \left| \frac{2 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 3} \right| = \left| \frac{(2 - \sqrt{3})(2\sqrt{3} + 3)}{(2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3)} \right| = \left| \frac{4\sqrt{3} + 6 - 6 - 3\sqrt{3}}{12 - 9} \right| = \left| \frac{\sqrt{3}}{3} \right| = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(8) $\theta = \frac{\pi}{4}$

(9) $\theta = \frac{\pi}{6}$