与えられた点と直線の間の距離を求めます。 (1) 点(0, 0), 直線 $x - y - 3 = 0$ (2) 点(0, 0), 直線 $5x - 3y + 34 = 0$ (3) 点(2, 1), 直線 $4x + 3y + 5 = 0$ (4) 点(-1, 2), 直線 $2x - 4y + 5 = 0$ (5) 点(2, -1), 直線 $5x + 12y - 3 = 0$ (6) 点(4, 3), 直線 $2x - 5y + 6 = 0$ (7) 点(1, 1), 直線 $y = 3x - 1$ (8) 点(1, 2), 直線 $y = -3x + 3$ (9) 点(3, 2), 直線 $y = -1$ (10) 点(4, -2), 直線 $x = 3$

1. 問題の内容

与えられた点と直線の間の距離を求めます。

(1) 点(0, 0), 直線 $x - y - 3 = 0$

(2) 点(0, 0), 直線 $5x - 3y + 34 = 0$

(3) 点(2, 1), 直線 $4x + 3y + 5 = 0$

(4) 点(-1, 2), 直線 $2x - 4y + 5 = 0$

(5) 点(2, -1), 直線 $5x + 12y - 3 = 0$

(6) 点(4, 3), 直線 $2x - 5y + 6 = 0$

(7) 点(1, 1), 直線 $y = 3x - 1$

(8) 点(1, 2), 直線 $y = -3x + 3$

(9) 点(3, 2), 直線 $y = -1$

(10) 点(4, -2), 直線 $x = 3$

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の間の距離 $d$ は次の式で与えられます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

各問題について、この公式を使って距離を計算します。

(1)

$d = \frac{|1(0) - 1(0) - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

(2)

$d = \frac{|5(0) - 3(0) + 34|}{\sqrt{5^2 + (-3)^2}} = \frac{|34|}{\sqrt{25 + 9}} = \frac{34}{\sqrt{34}} = \sqrt{34}$

(3)

$d = \frac{|4(2) + 3(1) + 5|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|8 + 3 + 5|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{16}{5}$

(4)

$d = \frac{|2(-1) - 4(2) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-4)^2}} = \frac{|-2 - 8 + 5|}{\sqrt{4 + 16}} = \frac{|-5|}{\sqrt{20}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(5)

$d = \frac{|5(2) + 12(-1) - 3|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|10 - 12 - 3|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-5|}{\sqrt{169}} = \frac{5}{13}$

(6)

$d = \frac{|2(4) - 5(3) + 6|}{\sqrt{2^2 + (-5)^2}} = \frac{|8 - 15 + 6|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{|-1|}{\sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{29}}{29}$

(7)

$y = 3x - 1$ より $3x - y - 1 = 0$

$d = \frac{|3(1) - 1(1) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3 - 1 - 1|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(8)

$y = -3x + 3$ より $3x + y - 3 = 0$

$d = \frac{|3(1) + 1(2) - 3|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|3 + 2 - 3|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

(9)

$y = -1$ より $y + 1 = 0$

$d = \frac{|0(3) + 1(2) + 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 1|}{\sqrt{1}} = \frac{3}{1} = 3$

(10)

$x = 3$ より $x - 3 = 0$

$d = \frac{|1(4) + 0(-2) - 3|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|4 - 3|}{\sqrt{1}} = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

(2) $\sqrt{34}$

(3) $\frac{16}{5}$

(4) $\frac{\sqrt{5}}{2}$

(5) $\frac{5}{13}$

(6) $\frac{\sqrt{29}}{29}$

(7) $\frac{\sqrt{10}}{10}$

(8) $\frac{\sqrt{10}}{5}$

(9) $3$

(10) $1$