$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で $\tan \theta = -2$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin \theta$ (2) $\cos \theta$ ただし、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を使うこと。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で $\tan \theta = -2$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sin \theta$

(2) $\cos \theta$

ただし、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を使うこと。

2. 解き方の手順

まず、与えられた公式 $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ に $\tan \theta = -2$ を代入して $\cos^2 \theta$ を求める。

$1 + (-2)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$5 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

したがって、$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$ となる。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で $\tan \theta = -2 < 0$ であるから、$\theta$ は鈍角であり、$\cos \theta < 0$ である。

よって、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$ である。

次に、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\sin \theta$ を求める。

$\sin^2 \theta + \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{5}{25} = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{5} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で $\sin \theta \ge 0$ であるから、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2) $\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5}$