直線 $x+4y = 20$ (①) と $y = ax - 5$ ($a>0$) (②) がある。 点Aは直線①とy軸との交点、点Bは直線②とy軸との交点、点C(8,3)は直線①と②の交点。 点K(k, 0)を通りy軸に平行な直線と直線①, ②との交点をそれぞれP, Qとする。ただし、$0 < k < 8$ である。 (1) 点Aのy座標を求めよ。 (2) aの値を求めよ。 (3) △OPQの面積が△CPQの面積の3倍になるとき、kの値を求めよ。 (4) PQの長さをkの式で表せ。 (5) PQを1辺とする正方形PQRSを作る。辺RSがy軸上にあるとき、kの値を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $x+4y = 20$ (①) と $y = ax - 5$ ($a>0$) (②) がある。

点Aは直線①とy軸との交点、点Bは直線②とy軸との交点、点C(8,3)は直線①と②の交点。

点K(k, 0)を通りy軸に平行な直線と直線①, ②との交点をそれぞれP, Qとする。ただし、$0 < k < 8$ である。

(1) 点Aのy座標を求めよ。

(2) aの値を求めよ。

(3) △OPQの面積が△CPQの面積の3倍になるとき、kの値を求めよ。

(4) PQの長さをkの式で表せ。

(5) PQを1辺とする正方形PQRSを作る。辺RSがy軸上にあるとき、kの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは直線①とy軸との交点なので、$x=0$を$x+4y=20$に代入すると、

$0+4y=20$

$4y=20$

$y=5$

したがって、点Aのy座標は5である。

(2) 点C(8,3)は直線②上にあるので、$y=ax-5$に代入すると、

$3 = 8a - 5$

$8a = 8$

$a = 1$

(3) 点Pは直線①と直線x=kとの交点なので、①の式に$x=k$を代入すると、$k+4y=20$より、$y = \frac{20-k}{4}$. よって、$P(k, \frac{20-k}{4})$。

点Qは直線②と直線x=kとの交点なので、②の式に$x=k$を代入すると、$y=k-5$. よって、$Q(k, k-5)$。

$OP = \frac{20-k}{4}$, $OQ = |k-5|$。ここで、$0<k<8$なので、$OP>0$

$PQ = \frac{20-k}{4} - (k-5) = \frac{20-k - 4k+20}{4} = \frac{40-5k}{4}$。

点C(8,3)より、CP=$\frac{20-k}{4} - 3 = \frac{20-k-12}{4} = \frac{8-k}{4}$

△OPQの面積は$\frac{1}{2} k PQ = \frac{1}{2} k (\frac{40-5k}{4}) = \frac{k(40-5k)}{8}$

△CPQの面積は$\frac{1}{2} k CP = \frac{1}{2} k (\frac{8-k}{4}) = \frac{k(8-k)}{8}$

$\frac{k(40-5k)}{8} = 3 \times \frac{k(8-k)}{8}$

$k(40-5k) = 3k(8-k)$

$40-5k = 24-3k$

$16 = 2k$

$k=8$

しかし、$0 < k < 8$ より、$k=8$は条件を満たさない。

$40-5k = 24-3k \implies 16=2k \implies k=8$.

面積の比の問題より、$\frac{1}{2} k \frac{40-5k}{4} = 3 \times \frac{1}{2} k |3 - (k-5)|$.

$\frac{40-5k}{4} = 3|8-k|$

$40-5k = 12|8-k|$

ここで，$0 < k < 8$ なので、$|8-k|=8-k$

$40-5k = 12(8-k)$

$40-5k = 96-12k$

$7k = 56$

$k=8$

これも条件を満たさない。

△OPQの面積は$\frac{1}{2} \times OK \times PQ = \frac{1}{2} k \times \frac{40-5k}{4} = \frac{5k(8-k)}{8}$

△CPQの面積は$\frac{1}{2} \times PQ \times (8-k)$. (CPのx座標は$k$, Cのx座標は8)

$\frac{1}{2} | (\frac{20-k}{4} - 3) | (8-k) = \frac{1}{2} (\frac{8-k}{4}) (8-k) = \frac{(8-k)^2}{8}$.

問題文より、

$\frac{5k(8-k)}{8} = 3 \frac{(8-k)^2}{8}$.

$5k(8-k) = 3(8-k)^2$

$5k = 3(8-k)$

$5k = 24 - 3k$

$8k = 24$

$k = 3$.

(4) $PQ = \frac{20-k}{4} - (k-5) = \frac{20-k-4k+20}{4} = \frac{40-5k}{4}$

(5) 辺RSがy軸上にあるとき、$P$ のx座標が $k$ であり、PQの長さが $\frac{40-5k}{4}$ であるから、$R$ の x 座標は $k - \frac{40-5k}{4} = 0$

$4k - 40 + 5k = 0$

$9k = 40$

$k = \frac{40}{9}$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 1

(3) 3

(4) $\frac{40-5k}{4}$

(5) $\frac{40}{9}$