2つの円 $f(x, y) = 0$ と $g(x, y) = 0$ が2点で交わるとき、定数 $k$ を用いて表される方程式 $kf(x, y) + g(x, y) = 0$ が、どのような図形を表すかを問う問題です。特に、[1] $kf(x, y) + g(x, y) = 0$ が2次方程式となる場合と、[2] 1次方程式となる場合について答えます。

1. 問題の内容

2つの円 $f(x, y) = 0$ と $g(x, y) = 0$ が2点で交わるとき、定数 $k$ を用いて表される方程式 $kf(x, y) + g(x, y) = 0$ が、どのような図形を表すかを問う問題です。特に、[1] $kf(x, y) + g(x, y) = 0$ が2次方程式となる場合と、[2] 1次方程式となる場合について答えます。

2. 解き方の手順

2つの円 $f(x, y) = 0$ と $g(x, y) = 0$ の交点を通る図形は、一般に $kf(x, y) + g(x, y) = 0$ で表されます。ここで、$k$ は定数です。

[1] $kf(x, y) + g(x, y) = 0$ が2次方程式となる場合：

$f(x, y) = 0$ と $g(x, y) = 0$ が共に円の方程式であるとき、$kf(x, y) + g(x, y) = 0$ が再び円の方程式となるためには、$k \neq 0$ である必要があります。$k = 0$ の場合は、$g(x, y) = 0$ となり、円①を表すことになります。したがって、$kf(x, y) + g(x, y) = 0$ は、2つの円①と②の交点を通る円（ただし、円①は除く）を表します。

[2] $kf(x, y) + g(x, y) = 0$ が1次方程式となる場合：

$f(x, y) = 0$ と $g(x, y) = 0$ が共に円の方程式であるとき、$x^2$ と $y^2$ の項が消去されるように $k$ の値を定めれば、$kf(x, y) + g(x, y) = 0$ は1次方程式となり、直線を表します。この直線は、2つの円の交点を通る直線であり、2つの円の共通弦を表します。

3. 最終的な答え

[1] 2つの円①, ②の交点を通る円（ただし、円①は除く）

[2] 2つの円①, ②の交点を通る直線