$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のベクトルの大きさがそれぞれ $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 1$ であり、$\vec{a} + \vec{b}$ のベクトルの大きさが $|\vec{a} + \vec{b}| = 2\sqrt{2}$ であるとき、$|\vec{a} - \vec{b}|$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のベクトルの大きさがそれぞれ $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 1$ であり、$\vec{a} + \vec{b}$ のベクトルの大きさが $|\vec{a} + \vec{b}| = 2\sqrt{2}$ であるとき、$|\vec{a} - \vec{b}|$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、 $|\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算し、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

与えられた値を使うと、

$(2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 1^2$

$8 = 9 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 1$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 8 - 10 = -2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

次に、 $|\vec{a} - \vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

値を入れると、

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 3^2 - 2(-1) + 1^2 = 9 + 2 + 1 = 12$

したがって、

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$|\vec{a} - \vec{b}| = 2\sqrt{3}$