点 $(0, 5)$ を通り、$x$軸に接する円の中心の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点 $(0, 5)$ を通り、$x$軸に接する円の中心の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心を $(x, y)$、半径を$r$とする。

円が$x$軸に接するので、$r = |y|$、つまり$r = y$ ($y>0$の場合)。

円の方程式は、

$(X - x)^2 + (Y - y)^2 = r^2$

と書ける。

この円が点 $(0, 5)$ を通るので、円の方程式に代入して、

$(0 - x)^2 + (5 - y)^2 = y^2$

$x^2 + 25 - 10y + y^2 = y^2$

$x^2 + 25 - 10y = 0$

$10y = x^2 + 25$

$y = \frac{1}{10}x^2 + \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

求める軌跡は

$y = \frac{1}{10}x^2 + \frac{5}{2}$