点 $(0, 5)$ を通り、$x$ 軸に接する円の中心の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点 $(0, 5)$ を通り、$x$ 軸に接する円の中心の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心を $(x, y)$ とする。

$x$ 軸に接するので、円の半径は $|y|$ である。

したがって、円の方程式は $(X-x)^2 + (Y-y)^2 = y^2$ となる。

この円が点 $(0, 5)$ を通るので、$(0-x)^2 + (5-y)^2 = y^2$ が成り立つ。

この式を整理して、$x$ と $y$ の関係式を求め、これが求める軌跡となる。

$(0-x)^2 + (5-y)^2 = y^2$

$x^2 + 25 - 10y + y^2 = y^2$

$x^2 + 25 - 10y = 0$

$10y = x^2 + 25$

$y = \frac{1}{10}x^2 + \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{10}x^2 + \frac{5}{2}$