放物線 $y = x^2 + 2x$ の頂点をCとする。放物線の $x > 0$ の部分に点Pをとると、三角形OCPの面積が3になった。点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 2x$ の頂点をCとする。放物線の $x > 0$ の部分に点Pをとると、三角形OCPの面積が3になった。点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線の頂点Cの座標を求める。$y = x^2 + 2x$ を平方完成すると、

$y = (x+1)^2 - 1$

したがって、頂点Cの座標は $(-1, -1)$ である。

次に、原点Oと点Cを通る直線の式を求める。

直線の傾きは $\frac{-1 - 0}{-1 - 0} = 1$ であるので、直線の方程式は $y = x$ である。

点Pの座標を $(t, t^2 + 2t)$ とおく。ただし、$t > 0$ である。

三角形OCPの面積を求める。点Pから直線OCまでの距離 $d$ は、点と直線の距離の公式から求められる。直線OCの方程式は $x - y = 0$ なので、

$d = \frac{|t - (t^2 + 2t)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-t^2 - t|}{\sqrt{2}} = \frac{t^2 + t}{\sqrt{2}}$

なぜなら、$t > 0$ なので、$t^2 + t > 0$。

OCの長さは $\sqrt{(-1 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{2}$。

三角形OCPの面積は $\frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{t^2 + t}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}(t^2 + t)$。

これが3に等しいので、$\frac{1}{2}(t^2 + t) = 3$。

これを解くと、$t^2 + t = 6$、つまり $t^2 + t - 6 = 0$。

因数分解すると $(t+3)(t-2) = 0$。

$t > 0$ より、$t = 2$。

したがって、点Pの座標は $(2, 2^2 + 2(2)) = (2, 8)$。

3. 最終的な答え

(2, 8)