半径3cm、高さ8cmの円柱から、高さが4cmの円錐を取り除いた立体に関する問題です。 (1) 円錐を取り除く前の円柱の表面積を求めます。 (2) 円錐を取り除いた後の立体の体積を求めます。 (3) 取り除いた円錐の母線の長さが5cmのとき、円錐の側面である扇形の中心角を求めます。

1. 問題の内容

半径3cm、高さ8cmの円柱から、高さが4cmの円錐を取り除いた立体に関する問題です。

(1) 円錐を取り除く前の円柱の表面積を求めます。

(2) 円錐を取り除いた後の立体の体積を求めます。

(3) 取り除いた円錐の母線の長さが5cmのとき、円錐の側面である扇形の中心角を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円柱の表面積は、底面積が2つと側面積で構成されます。

底面積は $半径 \times 半径 \times 円周率$ で計算できます。この場合は、$3 \times 3 \times \pi = 9\pi$ です。底面積は2つあるので、$2 \times 9\pi = 18\pi$ です。

側面積は $底面の円周 \times 高さ$ で計算できます。底面の円周は $2 \times 半径 \times 円周率$ で計算できます。この場合は、$2 \times 3 \times \pi = 6\pi$ です。側面積は、$6\pi \times 8 = 48\pi$ です。

したがって、円柱の表面積は $18\pi + 48\pi = 66\pi$ です。

(2) 円柱の体積は $底面積 \times 高さ$ で計算できます。底面積は $9\pi$ で、高さは8cmなので、$9\pi \times 8 = 72\pi$ です。

円錐の体積は $\frac{1}{3} \times 底面積 \times 高さ$ で計算できます。底面積は $9\pi$ で、高さは4cmなので、$\frac{1}{3} \times 9\pi \times 4 = 12\pi$ です。

円錐を取り除いた後の体積は、円柱の体積から円錐の体積を引いたものです。したがって、$72\pi - 12\pi = 60\pi$ です。

(3) 円錐の側面の扇形の弧の長さは、底面の円周に等しいです。

扇形の弧の長さは $2 \times 3 \times \pi = 6\pi$ です。

扇形の半径は、円錐の母線の長さに等しく、5cmです。

扇形の中心角を $\theta$ (度) とすると、扇形の弧の長さは $2 \pi \times 5 \times \frac{\theta}{360}$ で表されます。

したがって、$2 \pi \times 5 \times \frac{\theta}{360} = 6\pi$ となります。

これを解くと、$\frac{10\pi\theta}{360} = 6\pi$ より、$\theta = \frac{6\pi \times 360}{10\pi} = \frac{6 \times 360}{10} = 6 \times 36 = 216$ 度です。

3. 最終的な答え

(1) $66\pi$ cm$^2$

(2) $60\pi$ cm$^3$

(3) $216$ 度