20番の問題では、以下の2次曲線の方程式を求める問題です。 (1) 焦点が $(2, 0)$ で、準線が $x = -3$ である放物線の方程式を求める。 (2) 2点 $(2, 0)$、 $(-2, 0)$ を焦点とし、この2点からの距離の和が $6$ である楕円の方程式を求める。 (3) 2点 $(0, 4)$、 $(0, -4)$ を焦点とし、漸近線が $y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$ である双曲線の方程式を求める。 21番の問題では、複素数 $\alpha = 2 + 2i$、 $\beta = 1 - \sqrt{3}i$ のとき、$\alpha\beta$、$\frac{\alpha}{\beta}$をそれぞれ極形式で表す。ただし、偏角$\theta$は $0 \le \theta < 2\pi$ とする。

1. 問題の内容

20番の問題では、以下の2次曲線の方程式を求める問題です。

(1) 焦点が $(2, 0)$ で、準線が $x = -3$ である放物線の方程式を求める。

(2) 2点 $(2, 0)$、 $(-2, 0)$ を焦点とし、この2点からの距離の和が $6$ である楕円の方程式を求める。

(3) 2点 $(0, 4)$、 $(0, -4)$ を焦点とし、漸近線が $y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$ である双曲線の方程式を求める。

21番の問題では、複素数 $\alpha = 2 + 2i$、 $\beta = 1 - \sqrt{3}i$ のとき、$\alpha\beta$、$\frac{\alpha}{\beta}$をそれぞれ極形式で表す。ただし、偏角$\theta$は $0 \le \theta < 2\pi$ とする。

2. 解き方の手順

2

0. (1) 放物線

焦点 $(2, 0)$、準線 $x = -3$ である放物線の方程式を求める。

放物線上の点 $(x, y)$ から焦点までの距離と準線までの距離が等しいことから、

$\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = |x + 3|$

両辺を2乗して、

$(x - 2)^2 + y^2 = (x + 3)^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + 6x + 9$

$y^2 = 10x + 5$

$y^2 = 10(x + \frac{1}{2})$

焦点が $(2,0)$ で準線が $x=-3$ なので、頂点は $(\frac{-3+2}{2}, 0) = (-\frac{1}{2}, 0)$ になります。したがって、$y^2=4px$ の形ではなく、頂点がずれているので $y^2 = 4p(x+\frac{1}{2})$ となります。焦点までの距離は $2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{2}$ なので、$p = \frac{5}{2}$ となります。

$y^2=4*\frac{5}{2}(x+\frac{1}{2})$

$y^2=10(x+\frac{1}{2}) = 10x + 5$

(2) 楕円

2点 $(2, 0)$、 $(-2, 0)$ を焦点とし、この2点からの距離の和が $6$ である楕円の方程式を求める。

$2a = 6$ より $a = 3$。

焦点が $(\pm 2, 0)$ なので、$c = 2$。

$a^2 = b^2 + c^2$ より $9 = b^2 + 4$。

$b^2 = 5$。

したがって、楕円の方程式は $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$。

(3) 双曲線

2点 $(0, 4)$、 $(0, -4)$ を焦点とし、漸近線が $y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$ である双曲線の方程式を求める。

焦点が $(0, \pm 4)$ なので、双曲線は $y$ 軸方向に開いている。

$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ の形になる。

漸近線が $y = \pm \frac{a}{b}x$ なので、$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ より、$a = \frac{b}{\sqrt{3}}$。

焦点が $(0, \pm 4)$ なので、$c = 4$。

$c^2 = a^2 + b^2$ より $16 = \frac{b^2}{3} + b^2 = \frac{4}{3}b^2$。

$b^2 = 12$。

$a^2 = \frac{12}{3} = 4$。

したがって、双曲線の方程式は $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1$。

2

1. 複素数

$\alpha = 2 + 2i = 2\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$

$\beta = 1 - \sqrt{3}i = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})) = 2(\cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3}))$

$\alpha\beta = 4\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{3})) = 4\sqrt{2}(\cos(\frac{23\pi}{12}) + i\sin(\frac{23\pi}{12}))$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2\sqrt{2}}{2}(\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{3})) = \sqrt{2}(\cos(-\frac{17\pi}{12}) + i\sin(-\frac{17\pi}{12})) = \sqrt{2}(\cos(\frac{7\pi}{12}) + i\sin(\frac{7\pi}{12}))$

3. 最終的な答え

2

0. (1) $y^2 = 10x + 5$

(2) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$

(3) $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1$

2

1. $\alpha\beta = 4\sqrt{2}(\cos(\frac{23\pi}{12}) + i\sin(\frac{23\pi}{12}))$

$\frac{\alpha}{\beta} = \sqrt{2}(\cos(\frac{7\pi}{12}) + i\sin(\frac{7\pi}{12}))$